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*§4 复叠空间存在定理
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在复叠空间的应用中,还必须解决复叠空间的存在与否的问题,即要知道满足什么条件的空间有复叠空间.本节就要讨论这个问题.我们将给出泛复叠空间存在的一个充分必要条件,并指出它也是别的类型的复叠空间存在的充分条件,对于实际应用中遇到的大多数空间,这个条件总是满足的,因此它不会成为应用复叠空间的障碍.
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如果空间B上有泛复叠空间,则B是局部半单连通的(§3习题1).本节的主要定理说明局部半单连通还是存在泛复叠空间的充分条件.
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定理5.5(复叠空间存在定理) 如果拓扑空间B道路连通和局部道路连通,并且还局部半单连通,则B有泛复叠空间.
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证明 下面是一个构造性的证明,分几步进行.
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(一)构造空间E和映射p:E→B
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§3的习题6说明,如果p:E→B是泛复叠映射,则对∀b∈B,B中以b为起点的道路类的集合与E可建立一一对应关系.这个事实启示我们迈出构造泛复叠空间的第一步:取点b0∈B,令E是B中以b0为起点的道路类的集合.同时规定映射p:E→B为:∀α∈E,p(α)=α(1),即令p(α)是道路类α的终点.从B是道路连通的条件立即推出p是满映射.
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现在通过规定E的一个拓扑基来给出E的拓扑.设α∈E,U是B的道路连通开集,使得α(1)∈U.规定
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(α,U)={α〈w〉|w是U中起点为α(1)的道路},
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并记
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={(α,U)|α∈E,U是α(1)的道路连通开邻域}.
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容易验证是集合E的一个拓扑基.规定E上的拓扑为所得拓扑空间仍记作E.
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(二)p是连续开映射
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容易看出,对于中的任一成员(α,U),p(α,U)=U是B的开集.由此可推出p是开映射.
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要证p连续,只须对于B的每个道路连通开集U,验证p-1(U)是开集(因为由B局部道路连通推出,所有道路连通开集构成B的拓扑基).为此要说明∀α∈p-1(U)都是p-1(U)的内点.
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由α∈p-1(U)得到α(1)=p(α)∈U,从而(α,U)∈,并且p(a,U)=U.于是α∈(α,U)⊂p-1(U),因此α是p-1(U)的内点.
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在进行下一步论证之前,先证明一个引理.
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引理 (1)如果(α,U)∈,β∈(α,U),则(α,U)=(β,U).
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(2)如果(α,U)∈,并且U半单连通,则p:(α,U)→U是同胚映射.
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证明 (1)设β=α〈w〉,w是U中的道路,则β(1)=w(1)∈U,从而(β,U)有意义.并且∀γ∈(β,U)可写成γ=β〈w′〉.于是γ=α〈ww′〉∈(α,U).这样(β,U)⊂(α,U).又因为同样可证得(α,U)⊂(β,U).于是(α,U)=(β,U).
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