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基础拓扑学讲义 [:1701040227]
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*§4 复叠空间存在定理
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在复叠空间的应用中，还必须解决复叠空间的存在与否的问题，即要知道满足什么条件的空间有复叠空间．本节就要讨论这个问题．我们将给出泛复叠空间存在的一个充分必要条件，并指出它也是别的类型的复叠空间存在的充分条件，对于实际应用中遇到的大多数空间，这个条件总是满足的，因此它不会成为应用复叠空间的障碍．
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如果空间B上有泛复叠空间，则B是局部半单连通的（§3习题1）．本节的主要定理说明局部半单连通还是存在泛复叠空间的充分条件．
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定理5.5（复叠空间存在定理） 如果拓扑空间B道路连通和局部道路连通，并且还局部半单连通，则B有泛复叠空间．
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证明 下面是一个构造性的证明，分几步进行．
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（一）构造空间E和映射p：E→B
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§3的习题6说明，如果p：E→B是泛复叠映射，则对∀b∈B，B中以b为起点的道路类的集合与E可建立一一对应关系．这个事实启示我们迈出构造泛复叠空间的第一步：取点b0∈B，令E是B中以b0为起点的道路类的集合．同时规定映射p：E→B为：∀α∈E，p（α）＝α（1），即令p（α）是道路类α的终点．从B是道路连通的条件立即推出p是满映射．
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现在通过规定E的一个拓扑基来给出E的拓扑．设α∈E，U是B的道路连通开集，使得α（1）∈U．规定
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（α，U）＝｛α〈w〉｜w是U中起点为α（1）的道路｝，
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并记
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＝｛（α，U）｜α∈E，U是α（1）的道路连通开邻域｝．
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容易验证是集合E的一个拓扑基．规定E上的拓扑为所得拓扑空间仍记作E．
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（二）p是连续开映射
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容易看出，对于中的任一成员（α，U），p（α，U）＝U是B的开集．由此可推出p是开映射．
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要证p连续，只须对于B的每个道路连通开集U，验证p-1（U）是开集（因为由B局部道路连通推出，所有道路连通开集构成B的拓扑基）．为此要说明∀α∈p-1（U）都是p-1（U）的内点．
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由α∈p-1（U）得到α（1）＝p（α）∈U，从而（α，U）∈，并且p（a，U）＝U．于是α∈（α，U）⊂p-1（U），因此α是p-1（U）的内点．
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在进行下一步论证之前，先证明一个引理．
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引理 （1）如果（α，U）∈，β∈（α，U），则（α，U）＝（β，U）．
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（2）如果（α，U）∈，并且U半单连通，则p：（α，U）→U是同胚映射．
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证明 （1）设β＝α〈w〉，w是U中的道路，则β（1）＝w（1）∈U，从而（β，U）有意义．并且∀γ∈（β，U）可写成γ＝β〈w′〉．于是γ＝α〈ww′〉∈（α，U）．这样（β，U）⊂（α，U）．又因为同样可证得（α，U）⊂（β，U）．于是（α，U）＝（β，U）．
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