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基础拓扑学讲义 [:1701040231]
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§3 同调群的性质和意义
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本节从同调群的定义出发，讨论它的一些简单性质；并讨论0维同调群的几何意义，1维同调群与基本群的关系；我们还将建立著名的Euler-Poincaré公式．
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3.1 同调群的简单性质
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复形K的q维闭链群Zq（K）由同态∂q：Cq（K）→Cq-1（K）决定，q维边缘链群由∂q+1：Cq+1（K）→Cq（K）决定，因此，Hq（K）只与K的链复形中段有关．
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命题6.4 当r＞q时，
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证明 显然就是由此得到 ▎
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当q＜0或q＞dimK时，因为Cq（K）＝0，所以Zq（K）＝0，Hq（K）＝0．
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当q＝dimK时，因为Cq+1（K）＝0，所以Bq（K）＝0．于是Hq（K）＝Zq（K），它是自由交换群．
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当q＝0时，Z0（K）＝C0（K）．
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设K不连通，K＝K1∪K2，其中K1和K2是不相交子复形．显然Cq（K）＝Cq（K1）Cq（K2），∀q∈Z，并且∂q把Cq（Ki）映到Cq-1（Ki）中，i＝1，2．于是Zq（K）＝Zq（K1）Zq（K2）．类似地有Bq（K）＝Bq（K1）Bq（K2）．由此立即得出
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Hq（K）＝Hq（K1）Hq（K2）．
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以上结果可推广到K分解成多个不相交子复形的并集的情形，于是有
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定理6.2（直和分解定理） 设复形K的连通分支为K1，K2，…，Kr，则∀q∈Z，
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3.2 0维同调群的几何意义
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命题6.5 复形K的0维同调群是自由交换群，它的秩等于K的连通分支数．
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证明 根据直和分解定理，只须证明连通复形的0维同调群是自由循环群．
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