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§3 同调群的性质和意义
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本节从同调群的定义出发,讨论它的一些简单性质;并讨论0维同调群的几何意义,1维同调群与基本群的关系;我们还将建立著名的Euler-Poincaré公式.
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3.1 同调群的简单性质
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复形K的q维闭链群Zq(K)由同态∂q:Cq(K)→Cq-1(K)决定,q维边缘链群由∂q+1:Cq+1(K)→Cq(K)决定,因此,Hq(K)只与K的链复形中段有关.
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命题6.4 当r>q时,
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证明 显然就是由此得到 ▎
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当q<0或q>dimK时,因为Cq(K)=0,所以Zq(K)=0,Hq(K)=0.
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当q=dimK时,因为Cq+1(K)=0,所以Bq(K)=0.于是Hq(K)=Zq(K),它是自由交换群.
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当q=0时,Z0(K)=C0(K).
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设K不连通,K=K1∪K2,其中K1和K2是不相交子复形.显然Cq(K)=Cq(K1)Cq(K2),∀q∈Z,并且∂q把Cq(Ki)映到Cq-1(Ki)中,i=1,2.于是Zq(K)=Zq(K1)Zq(K2).类似地有Bq(K)=Bq(K1)Bq(K2).由此立即得出
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Hq(K)=Hq(K1)Hq(K2).
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以上结果可推广到K分解成多个不相交子复形的并集的情形,于是有
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定理6.2(直和分解定理) 设复形K的连通分支为K1,K2,…,Kr,则∀q∈Z,
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3.2 0维同调群的几何意义
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命题6.5 复形K的0维同调群是自由交换群,它的秩等于K的连通分支数.
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证明 根据直和分解定理,只须证明连通复形的0维同调群是自由循环群.
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