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基础拓扑学讲义 [:1701040233]
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基础拓扑学讲义 第七章 单纯同调群（下）
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第六章中建立的同调群只是复形上的一种代数结构，还没有体现出它的拓扑特性．本章要建立拓扑空间（多面体和可剖分空间）的同调群，自然是要利用它们的剖分的同调群来规定．于是我们就面临着同调群的拓扑不变性问题：有相同（或同胚）多面体的复形的同调群是不是同构？这就要把同调群的研究向前发展．我们要对从多面体｜K｜到｜L｜的连续映射f，建立从同调群Hq（K）到Hq（L）的同态f*q．这是一项难度较大、技术性很强的工作．我们还要讨论同调群的同伦不变性，它也是计算同调群的一个工具．
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基础拓扑学讲义 [:1701040234]
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§1 单纯映射和单纯逼近
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本节为定义连续映射诱导的同调群同态作准备，介绍单纯映射和单纯逼近这两个重要概念．
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1.1 单纯映射
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单纯同调群建立的基础是复形的组合结构，然而一般的连续映射并不保持这种组合结构，因此不像基本群那样能用自然的方式建立它所对应的同调群同态．我们先考虑一种与复形的组合结构相适应的映射，即复形间的单纯映射．
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定义7.1 设K和L是复形，K到L的一个对应φ∶K→L（它把K的每个单形对应到L的一个单形）称为单纯映射①，如果它满足以下要求：
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（1）若a是K的顶点，则φ（a）是L的顶点；
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（2）若K中单形则的顶点集是｛φ（a0），φ（a1），…，φ（aq）｝（并不要求φ（a0），φ（a1），…，φ（aq）互不相同）．
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由定义看出，当φ是单纯映射时，它还满足：
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（3）即φ保持面的关系；
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（4）
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如果（4）中等式成立，则说φ在上非退化，否则说φ在上退化．显然，当φ在上非退化时，φ在的面上也非退化．
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（1）说明φ决定K的顶点集K0到L的顶点集L0的对应，称为φ决定的顶点映射．（2）说明φ由它的顶点映射完全决定．
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例如，若记i∶Kr→K是包含映射，则i是单纯映射，它在每个Kr的单形上不退化，它决定的顶点映射是恒同映射id∶K0→K0．
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设φ∶K→L是单纯映射，则可规定映射如下：∀x∈K，若CarKx＝（a0，a1，…，aq），且则令它是φ（CarKx）的一点．
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命题7.1是连续映射．
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