1701046738
基础拓扑学讲义 [:1701040234]
1701046739
§1 单纯映射和单纯逼近
1701046740
1701046741
本节为定义连续映射诱导的同调群同态作准备，介绍单纯映射和单纯逼近这两个重要概念．
1701046742
1701046743
1.1 单纯映射
1701046744
1701046745
单纯同调群建立的基础是复形的组合结构，然而一般的连续映射并不保持这种组合结构，因此不像基本群那样能用自然的方式建立它所对应的同调群同态．我们先考虑一种与复形的组合结构相适应的映射，即复形间的单纯映射．
1701046746
1701046747
定义7.1 设K和L是复形，K到L的一个对应φ∶K→L（它把K的每个单形对应到L的一个单形）称为单纯映射①，如果它满足以下要求：
1701046748
1701046749
（1）若a是K的顶点，则φ（a）是L的顶点；
1701046750
1701046751
1701046752
1701046753
（2）若K中单形则的顶点集是｛φ（a0），φ（a1），…，φ（aq）｝（并不要求φ（a0），φ（a1），…，φ（aq）互不相同）．
1701046754
1701046755
由定义看出，当φ是单纯映射时，它还满足：
1701046756
1701046757
1701046758
（3）即φ保持面的关系；
1701046759
1701046760
1701046761
（4）
1701046762
1701046763
1701046764
1701046765
1701046766
1701046767
如果（4）中等式成立，则说φ在上非退化，否则说φ在上退化．显然，当φ在上非退化时，φ在的面上也非退化．
1701046768
1701046769
（1）说明φ决定K的顶点集K0到L的顶点集L0的对应，称为φ决定的顶点映射．（2）说明φ由它的顶点映射完全决定．
1701046770
1701046771
例如，若记i∶Kr→K是包含映射，则i是单纯映射，它在每个Kr的单形上不退化，它决定的顶点映射是恒同映射id∶K0→K0．
1701046772
1701046773
1701046774
1701046775
1701046776
1701046777
设φ∶K→L是单纯映射，则可规定映射如下：∀x∈K，若CarKx＝（a0，a1，…，aq），且则令它是φ（CarKx）的一点．
1701046778
1701046779
1701046780
命题7.1是连续映射．
1701046781
1701046782
1701046783
1701046784
1701046785
1701046786
1701046787
