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基础拓扑学讲义 [:1701040237]
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§4 同伦不变性
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4.1 同调群的同伦不变性
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和基本群一样，同调群也有同伦不变性．它包括两个方面：同伦的映射诱导相同的同调群同态；同伦等价的空间有同构的同调群．我们只须对复形证明这两个结论．
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定理7.5 设K，L都是复形，如果连续映射则
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f*q＝g*q∶Hq（K）→Hq（L）， ∀q∈Z．
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证明 设H∶｜K｜×I→｜L｜是f到g的同伦，记ht是H的t-切片，则h0＝f，h1＝g．｛H-1（StLb）｜b∈L0｝是｜K｜×I的一个开覆盖．设δ是它的Lebesgue数．取充分大的r，使得于是，当t，t′∈I，使得时，对K（r）任一顶点a，StK（r）a×［t，t′］包含在某个H-1（StLb）中，也即ht（StK（r）a）和ht′（StK（r）a）包含在L的同一个星形中．于是可构造φ∶K（r）→L，它是ht和ht′的公共的单纯逼近，从而
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∀q∈Z．
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由此马上得出
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f*q＝（h0）*q＝（h1）*q＝g*q， ∀q∈Z． ▎
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命题7.12 设K和L是复形，f∶｜K｜→｜L｜是一个同伦等价，则f*q∶Hq（K）→Hq（L）是同构，∀q∈Z．
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证明 设g∶｜L｜→｜K｜是f的同伦逆，则
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g*qf*q＝（gf）*q＝id*q∶Hq（K）→Hq（K），
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f*qg*q＝（fg）*q＝id*q∶Hq（L）→Hq（L），
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因此f*q是同构，g*q＝（f*q）-1． ▎
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一个直接的推论是定理7.6．
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定理7.6 设K和L是复形，若则
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q∈Z． ▎
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4.2 同伦不变性在同调群的计算中的应用
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同伦不变性是计算同调群的有效工具，它常常可在很大程度上简化计算．例如，不难看出单纯锥的多面体是可缩空间，而显然由一个0维单形构成的多面体是零调的，即0维同调群是自由循环群，其他维同调群是零群．用同伦不变性立即推出单纯锥也是零调的（但第六章的计算还是必要的，在定义f*q的过程中要用到这个结果）．又如，平环与S1同伦等价，因此它的同调群与S1的同调群（即2维单形的边缘复形的同调群）同构．（对照第六章§4的例2与例3的结果．）下面再举几个例子．