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历史上最伟大的10个方程 [:1701051608]
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茶歇 数学的法则、证明和魔力
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人们都知道数学法则是怎么一回事，却不知道法则是如何证明出来的。拿毕达哥拉斯定理来说，它的证明方法有很多种，有的证法甚至一个字都没有。在欧洲最大的科学博物馆——法国的科学工业城（Cité des Sciences et de l’Industrie）里有一面立体的展示墙，上面就有毕达哥拉斯定理。上面有3个立体而中空的图形。每个图形分别紧邻着直角三角形的一条边。图形中装有一些有色液体。这些液体可以从一个图形流动到另一个图形中。展示墙转动时，液体就可以完全流到斜边上的图形中，而其他两边的图形中一点也不会剩；反之亦然。欧几里得的《几何原本》19世纪出版的版本，被人们认为是“本世纪最古怪，也是最漂亮的书之一”。这本书1851年曾在英国著名的水晶宫（Crystal Palace）中展出。现在在eBay上卖到几千美元。这本书采用彩线、彩图，对大部分证明中的文字加以浓缩提炼，几乎完全是用图形加以证明的，包括毕达哥拉斯定理的证明［23］。
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两种不同方法中的4个三角形
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哲学家大卫·索克（David Socher）想出了一个聪明的办法，来告诉学生毕达哥拉斯定理的法则和证明之间的不同［24］。他手上拿着1个大的白色正方形和4个有颜色的三角形，可他并不告诉学生自己接下来要做什么。“我只是说接下来要做个小小的演示。我要你们用不同的办法来移动正方形和三角形。这并不需要什么技巧，并不难，也不测试速度。仅仅就是一个很好玩的演示而已。”接着，他要求学生用两种方法把4个三角形（每个三角形的边长都分别为3英寸、4英寸和5英寸）组合到正方形（边长为7英寸）上。学生们很快就能发现，两种方法中余下的空白面积是相等的。索克问这对于三角形有什么用呢？学生们说不上来。他接着问学生对三角形理解多少。这时不止一个学生提到毕达哥拉斯定理，可他们却没有发现眼前的几何图形与毕达哥拉斯定理之间存在的关联。索克接着写下了两个字：“璞玉”。你看，再多解释一两句，法则和证明之间的关系就浮现出来了。
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这样的时刻，即便是在成人看来，也是很难忘，甚至很渴望的。在Quartered Safe Out Here: A Recollection of the War in Burma（《缅甸战争回忆录》）一书中，英国小说家乔治·麦克唐纳·弗雷泽讲述了二战期间向战友杜克演示毕达哥拉斯定理的故事。那个夜里，他们团正沿着通往仰光的公路挖掘掩体，他和杜克一边挖着，一边聊天。聊了香烟，聊了战争，聊了日本人，杜克谈兴正隆，提出让弗雷泽说点有文化的东西，也享受“一分钟不带脏话、有教养的讨论”。弗雷泽于是提出来“证明毕达哥拉斯定理”，杜克很开心，打趣说他觉得弗雷泽证明不了。（那天深夜，由于一系列的意外和误会，杜克被自己人当成了敌人，好几挺机关枪几乎把他打成了筛子，凄惨地倒在了前线的黑暗里。）
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我用刺刀在战壕旁的地面上把我所知道的毕达哥拉斯定理的证法写给他看，这也是毕达哥拉斯本人的证法。期间出了几次错，有个地方忘了加垂线，不过最后还是对了，杜克脸上也露出了满意的表情。我“乘胜追击”，继续证明圆心角的度数等于圆周角的度数的两倍。杜克听得很用心，甚至有点超出我的想象。在四周都是日本人的漆黑夜晚，要如此全神贯注于三角形和圆形之类的东西实在不是一件易事［25］。
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爱因斯坦曾在他的自传中写道：自己小时候根据三角形的相似性证明了毕达哥拉斯定理，欧几里得平面几何由此使他产生“好奇心”，并留下了“难以名状的印象”。“对任何一个第一次产生这种感觉的人来说，”爱因斯坦写道，“这都是一种神奇的经历——人们有能力通过纯粹的思考达到此种程度的确定性和纯粹性。”［26］
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爱因斯坦的经历还表明毕达哥拉斯定理还能使人们产生另一种激动的心情。对那些不仅要知道如何证明，而且想要给出新证法的人来说，这种经历会告诉他们创造力是多么地激动人心。给出新证法的人可不像是看着剧情进展的观众。他们是剧作家，从事着数学家的工作，把数学当成一种创造性的艺术。他们体会着创作的乐趣，发现了数学的真谛就是去作更多的数学。这种人已经发现了“发现的力量”。
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对柏拉图、霍布斯、笛卡儿、黑格尔、叔本华、卢米斯、爱因斯坦、弗雷泽和其他数不清的人来说，毕达哥拉斯定理已经远远不只是一个计算斜边长度的方法。对那些惯于推理的人来说，会有一种超越纯粹结果的东西浮现出来。在经历某个事物时（比如量、数学），在某个时刻会有另一个东西——推理的思路，呈现在人们面前。它强健、不屈又固执，宗教之名赶不跑它，政治意识形态伪装不成它，学术技巧藏不住它。
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1＋1＝2告诉人们加法的概念，而毕达哥拉斯定理用类似的方式告诉人们如何作证明法。这样一来，哲学家们所谓的范畴直观（categorical intuition）就变成了可能：人们所看到的不再仅仅是内容本身，还包括思维框架。它所涉及的“旅程”是很短的。只要稍微瞥见旅途中的各个阶段，便可展现出知识的旅程。它是一个证明，论证了“证明”（Proof）的成立。
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［1］John Aubrey, Brief Lives，编辑Richard Barber（大不列颠：Boydell Press，1982年），第152页。
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［2］这个故事看上去令人难以置信，不像是真的，尤其是在高呼“我发现了！”的时代。不过大多数传记作者还是相信的。人们在当时往往看不到有些事物的重要意义，只有过后才会意识到。最近一位为霍布斯写传记的作家A.P. 马蒂尼奇（《霍布斯传》，第84～85页）对故事的真实性进行了有力的争辩。马蒂尼奇认为：“几何学对于霍布斯哲学的重要影响几乎不可能被夸大。影响霍布斯的并不是一大堆的几何公理、定理和证明，而是把一个事物与另一个事物用一种无可置疑的基础联系起来的方法。影响他的是几何方法，而不是几何内容。”
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［3］尽管他没有成为一个真正的专家，而且也会犯一些空有热情的业余爱好者经常犯下的错误。他曾经去研究一些不可能的问题，比如求出与圆的面积相等的正方形，对一个角进行三等分，以及得到一个体积是原来正方体两倍大小的正方体。霍布斯错误地认为自己成功了。
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［4］Leo Strauss，《霍布斯的政治哲学：基础和起源》（芝加哥：芝加哥大学出版社，1959年），第29页。
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［5］Reid McInvale, “Circumambulation and Euclid’s 47th Proposi-tion”http:///www.io.com/~janebm/summa.html（于2008年4月11日访问）。另参见James Anderson的The Constitutions of Free Masons（1723年）：“伟大的毕达哥拉斯，被证明是欧几里得《几何原本》第1卷命题47的作者。如能对其妥善运用，可将其作为所有宗教建筑、民用建筑和军事建筑的基础”，（里士满，VA: Macoy，1977年），第203～204页。
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［6］O. N. Eugebauer和A. Sachs, “Mathematical Cuneiform Texts”, American Oriental Series，第29卷（纽黑文：美国东方学会，1945年），第38页；Eleanor Robson, “Neither Sherlock Holmes nor Babylon: A Reassessment of Plimpton 322”, Historia Mathematica 28（2001），第167～201页。
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［7］包德哈亚那（Baudhayana，印度数学家）就说：“从矩形的对角线得出的面积等于两边分别得出的面积之和。”（David Smith引用，History of Mathematics，第1卷（纽约：丹佛，1958年），第98页。）不过他仅仅陈述了这样一个事实，并未对其加以证明。有一位学者写道：“我们必须要了解，他们感兴趣的只是有实际用途的几何事实。从而表述的形式就是最实际的了。”（G. Thibaut，《苏瓦经》（Sulvasutras）（加尔各答：Papatist Mission Press，1875年），第232页。
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［8］Christopher Cullen, Astronomy and Mathematics of Ancient China: The Zhou Bi Suan Jing（剑桥大学出版社，1996年），第xi页。但正如Cullen所发现的那样，“整个过程更多的是文字而不是计算”，“虽然采用了欧几里得式的图标标记法，但在正文中却没有提到，反致误导”，不知作者所云。“书中基本没有称得上是计算的东西。”（第80页。）太阳的高度是8万里，即4万公里或2.4万英里（1英里＝1.609公里）。之后中国又出现一本叫作《九章算术》（Nine Chapters on the Mathematical Art，约公元250年）的书，对法则进行了比较清晰的处理。《九章》所关注的依旧是实际问题，里面的第一章就是“土地丈量”。后续的章节主要是关于运河、税收等事务。最后一章是“勾股”（Kou ku），“勾”是“小腿”，指的是直角三角形的短边；“股”是“大腿”，指的是直角三角形的长边。“弦”就是连结两点构成的斜边。这一章包含了24个涉及直角三角形性质的问题。“但是证明并不是本书所关心的，”历史学家劳埃德（G. E. R Lloyd）说，“书中问题的数学推理方式更多的是基于类推和（问题、步骤和公式）结构上的共同点。”拿诗歌来说，它最感兴趣的是关联、互补和对仗。这种风格在书中是没有的。
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［9］古代的长度单位。——译者注
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［10］毕达哥拉斯时代的一个世纪之后，很多希腊作者就已非常熟悉斜边定律了。但这些作者都没有把毕达哥拉斯当成斜边定律的发现者。亚里士多德最擅于“论功行赏”，可他也没有提到毕达哥拉斯与斜边定律存在什么关联。证明的思想始于公元前5世纪。这一思想在公元前4世纪柏拉图讨论“说服”（persuasion）与“实证”（demonstration）之间的差异时达到顶峰。同一时期，亚里士多德讨论了证明的本质，欧几里得写出了《几何原本》。《几何原本》是第一本完全以证明形式呈现数学知识的书。早期的著作和之后希腊的正规证明思想之间存在着较大的差异。著作中数学知识的呈现，还是以实际结果作为出发点。但是劳埃德写道：“实际结果是一回事，证明又是另一回事。”“要给出定理或命题的正规证明，起码要保证步骤的准确和有效，然后才可能通过归纳和演绎得出定理或命题的正确性。”（劳埃德，《让智力不再神秘》（Demystifying Mentalities，第73、74页）劳埃德又继续写道，就目前已知，上述思想并非只由希腊由亚里士多德提出，在世界其他地方也出现了。比如有人就声称毕达哥拉斯定理在被毕达哥拉斯发现之前，就已在美索不达米亚、印度和中国被发现了。“从关键字句中我们看不出严格证明步骤和大概证明之间的差别。人们对两者的使用显然是不加区分的，说明作者并不关心结论的证明，只关注祭坛建造等实际问题。”（第75页）的确，生活在毕达哥拉斯（约公元前569—公元前475年）之后5个世纪的作者认为毕达哥拉斯是给出斜边定律证明的第一人。但正如劳埃德指出的，这很可能是因为“后世的希腊注释者过于乐观地把功劳放到了英雄般的希腊哲学创建者身上”。（第80页）这些过于乐观的人中首当其冲的要数阿波洛道鲁斯。关于此人，人们知道得很少。只是知道他曾说毕达哥拉斯以牛祭祀这个“著名定理”的发现。许多作者于是听信阿波洛道鲁斯的说辞，如普卢塔克、阿特纳奥斯、第欧根尼·拉尔修、波菲利和维特鲁威。因为毕达哥拉斯学派对歃血仪式有着严格的限制，所以就有人对以牛祭祀表示了怀疑。于是普卢塔克等人又对故事进行了润色。“其实，”劳埃德推断（第87页），“对之后希腊科学发展最没有争议、最重要的是对知识框架进行系统说明的典范——欧几里得的《几何原本》所起到的作用。自此之后，几何证明被广泛采用。其范围除几何学外，还涉及光学、某些音乐理论、统计学和水力学、理论天文学的某些领域；它不仅可用于自然科学，也适用于生命科学的某些领域。”
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［11］举个例子。Otto Neugebauer是破译了普林顿322中毕达哥拉斯三元数组的第一人。他借用巴比伦人的泥板，认为泥板已经提供了“足够的证据，表明早在毕达哥拉斯1000多年之前，人们就已经知道‘毕达哥拉斯’定理了”。Otto Neugebauer, The Exact Science in Antiquity，普罗维登斯：布朗大学出版社，1993年，第36页。
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［12］Francs M. Cornford, Before and After Socrates（剑桥：剑桥大学出版社，1972年），第72～73页。