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数学恩仇录:数学家的十大论战 1 塔尔塔利亚vs卡尔达诺 求解三次方程
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1545年,意大利物理学家和数学家吉罗拉莫·卡尔达诺,以一本代数学方面的书在数学界掀起了一场轩然大波。这本书在今天被称为《大衍术或代数学的规则》。直到现在,它仍然被众多学者认为是文艺复兴时期的科学杰作之一。
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一本代数书,是什么东西如此重要呢?
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《大衍术》(Arts Magna)以一些介绍性的材料开头,这些材料包括标准的线性和二次方程的解法。但是它很快就跃进到未知的领域,首次展示了求解三次和四次代数方程的完整过程。
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这本书的确有着惊人的成就,在16世纪余下的大部分时间里,它将为推动欧洲数学的发展扮演重要角色。直到像弗兰索瓦·韦达(Francois Viete,1540—1603)和勒内·笛卡儿(Rene Descartes,1596—1650)这样水平的数学家出现后,这本书的贡献才被取代。
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但这本书的影响不止在数学领域,因为文艺复兴也是科学世界的一个形成期,卡尔达诺的书在这方面同样起了重要作用。正如杰出的数学家和学者莫里斯·克莱因所说,“很多人把现代科学的出现主要归功于实验方法的引进,并相信数学只是作为一个方便的工具偶尔起点作用。真实的情况……恰恰相反,文艺复兴时期的科学家是作为数学家进入自然科学研究领域的……实验提供的帮助很小,甚至没有。科学家在当时指望从这些原理推导出新的定律。”(1)
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激活了长期潜伏的数学领域,卡尔达诺也为科学的发展提供了动力。比如,数学史家罗纳德·卡林格(Ronald Calinger)就视卡尔达诺为文艺复兴时期新科学的奠基人之一。于是,人们把《大衍术》和维萨里(Vesalius)的《人体构造》(On the Structure of the Human Body)及哥白尼(Copernicus)的《天体运行论》(On the Revolutions of the Heavenly Spheres)相提并论,后两者几乎和《大衍术》同时出现。
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然而,维萨里是比利时人,哥白尼是波兰人。很显然,看到他们中的一位对数学的发展作出如此非凡的贡献,意大利的数学家们充满了自豪。
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确实,他们是这样表现的,但出现了一个大大的例外。《大衍术》刚刚出版,一位意大利数学家塔尔塔利亚(他通常以这个单名为人所知)开始攻击卡尔达诺。虽然卡尔达诺在书中和好几个场合清楚地声明过,书中一个基本的三次方程解法应归功于塔尔塔利亚。但塔尔塔利亚说,这不是问题所在。在他看来,卡尔达诺背信弃义。义愤填膺的塔尔塔利亚坚持说,当他向卡尔达诺展示他的解法时,卡尔达诺——作为一个基督徒和绅士——信誓旦旦地承诺会在塔尔塔利亚的书之后出版自己的书。
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要理解塔尔塔利亚的抗议和因之而起的争端的奇怪后果,我们应该回到16世纪初看一看。
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数学恩仇录:数学家的十大论战 重 生
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实际开始于14世纪的欧洲文艺复兴,是欧洲智慧在沉睡了一千年后的苏醒和重生。艺术家和学者们,特别是在意大利,不断地发现着过去的富矿,并发扬光大之。科学家、工程师和数学家们也开始苏醒了,虽然慢了点,但毫不逊色。
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临近15世纪末时,代数学里出现了数学史上第一个激动人心的时刻。正如文艺复兴的其他方面一样,这些成果在很大程度上是先前工作的再发现。这些辉煌的成就都是古代希腊、阿拉伯和印度的数学家们创造的。他们在很多个世纪以前就找到了线性方程和二次方程(形如 ax+b=c和ax2+bx+c=d的方程)的解法。
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阿拉伯的数学家们早在9世纪(或许更早)就解决了某些三次方程,但都是针对某些特别数字问题的几何解法,甚至是猜想的解法。极度需要解决的是普通三次方程(ax3+bx2+cx+d=0)的解,这也是大家积极寻求的。在《大衍术》之前意大利数学界最有影响力的书的作者卢卡·帕乔利(Luca Pacioli)在1494年主张,这样的解法不会被找到。
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然后,在1510年到1515年之间的某个时候,博洛尼亚(Bologna)大学的数学教授希皮奥内·德尔·费罗(Scipione del Ferro,1465—1526)提出了第一个三次方程的代数学解法。他发明了一个解决“压缩的三次方程”(缺少二次项的三次方程)的代数公式。换句话说,他找到了形如x3+ax=b的方程的通用解法,这里a和b都是正数。这是一个真正的突破,但他保密得相当严实,坚持了至少十几年。如何解释这种奇怪的行为呢?
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首先,16世纪之初不是一个“发表或者消失”的时代。当时,没有同行评议的期刊,没有互联网。实际上,对于一个新发现的主人来说,最有可能的做法就是将其严格保密,并且只在能设法证明它确实有利时才公开地用它(如果他确实要这样做的话)。
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例如,任期制的想法在很久以后的将来才出现,所以数学上的学术职务会很微妙。席位是依据地位和名望来安排的,随时都要迎接公开的挑战。论战有时会引起公开的、有规模的争辩,争议者的学生和支持者通常会参与。在有些事例中,论战吸引了很多人,甚至掺入了激动人心的打赌。德尔·费罗显然相信,如果有人挑战他,拿着一堆问题要他解答,他能一直用他的解法作为有效的还击手段。
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德尔·费罗是否曾经这样用过他的解法,历史没有记载。但我们确知,在1526年他去世的时候,他写有这种解法的论文传给了他的女婿兼继任者安尼贝勒·德拉·纳夫(Annibale della Nave)。更重要的是,传给了他一个学生安东尼奥·玛丽亚·费尔(Antonio Maria Fior)(2)。
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费尔认为他现在掌握了一个无价之宝,于是他回到家乡威尼斯,希望成为一位数学老师。他让公众知道他在解三次方程方面有特殊才能。但他经常听人说这也许算不了什么,别的人也有这种能耐。他听到的名字是塔尔塔利亚,一位威尼斯的数学老师。后者做过几次声明,声称也会解三次方程。
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费尔考虑向塔尔塔利亚发出公开的挑战。如果塔尔塔利亚夸大其词(这看起来非常有可能),那么这次挑战将是撕下对手的伪装并为自己树立名声的绝好途径。
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数学恩仇录:数学家的十大论战 塔尔塔利亚
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