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数学恩仇录：数学家的十大论战 确定性和方法
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尽管蔑视当时的哲学，笛卡儿对这个学科的兴趣却被激发了。他开始疑惑：我们究竟是怎么知道我们所知道的东西？对于我们知道的东西，或者我们认为我们已知道的东西，我们怎么确定它们是正确的？如此多的人已经研究了如此多的问题，但我们听说的和知道的却还是有这么的错误和不确定，这是怎么一回事？
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例如，他明白哥白尼是对的——虽然太阳看起来是绕着地球转，但实际上地球是绕着太阳转的。那么，在这种情况下，我们能依赖自己的感觉来认知我们周边的世界吗？
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那时他听说哥白尼的《天体运行论》（De Revolutionibus）——半个多世纪以前，哥白尼在书中提出了日心说——已经被天主教会查禁和封存了，直到它被修改或申明书中提出的观点仅仅是猜想的，这本书才能解禁。原因是：虽然哥白尼的观点不错，但与教义冲突，也没有真实、具体的证据证明它是对的。如果这个观点有实在的证据，教会是不能反对的。笛卡儿开始对确定性充满激情，确定性也成为他后来全部研究工作的核心。
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好几个观点在酝酿中。在他研究的所有学科中，数学似乎提供了一条通向确定性的路。因为他相信，数学完全凭借理性思考，它可以避免感觉甚或测量和试验所带来的错误。
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1618年，他结识了伊萨克·贝克曼（Isaac Beeckman），并与他一起工作。贝克曼是一位教师兼教育管理者，他像笛卡儿一样，对数学和物质世界的联系有着浓厚的兴趣。在贝克曼的指导和鼓励下，他开始全神贯注于数学和机械问题。笛卡儿在部队呆了一段时间，他也许为那里的军事设施做过一些数学方面的工作。作为一个绅士士兵，他有空钻研学术；何况，他对军队并不热衷。他抱怨无所事事地与大老粗混在一起。1619年初，笛卡儿离开了部队。
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他很推崇古希腊的数学家，比如巴伯斯（Pappus）和丢番图（Diophantus）。然而，他同时怀疑这两位先生故意对他们的陈述有所保留，这就是说，他们展示某些问题的解法，却对所用的方法保密，就像卡尔达诺时代的代数学家们所做的那样。
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1619年，他写道：“当我更密切地注意这个问题时，我发现数学唯一关心的是次序或量度问题，问题中的量度是否涉及数字、形状、恒星、声音或者其他的任何东西都无关紧要。这让我意识到，应该有一门通用的科学，它能够提出与解释次序和量度相关的任何问题，而无需考虑所要解决的问题。这门科学应该叫做通用数学（mathesis universalis）——一个有着确定意思的庄严名称——因为它涵盖了所有被称为数学分支的全部其他学科。在有用和简洁方面，它对其他从属学科的优越性是明显的，这从它涵盖了所有它们处理的问题这样一个事实上可以看出来……到现在为止，我把我所有的精力都投入到了这个通用数学里，这样我就可以在预计的日程解决更艰深科学的问题。”(5)
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到1619年时，笛卡儿已经意识到他肯定能创造出一套哲学系统，这套系统将像亚里士多德的哲学那样严格地运用推理，但这套哲学系统建立在他自己的思想和创新基础上。正如他所说，他已经发现了一门不可思议的学科的基础（mirabilis scientiae fundamenta）。在这个基础上，可以建立一套完整的哲学系统，这套系统为学习和研究开创了一条充满确定性和明确性的路。
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在接下来的20年间，笛卡儿发展了这些观点，将其涵盖的领域扩充到整个世界。到1628年，他实际上已经开始撰写《论世界》（Le Monde，The World），这是他对几乎整个世界运转方式的宏大谨严之解释。然而，1633年当他完成手稿时，他听说伽利略因为赞成哥白尼的日心说而被宗教裁判所监禁。他担心自己书中的某些观点也会引起教会的不悦。笛卡儿是一个驯良的天主教徒——很显然，在拉弗莱齐学校所受的教育起了作用——他选择了不出版他的书，而不是去冒犯教会的权威。笛卡儿也意识到他不能偏离自己的立场。如果他想成功地反驳亚里士多德等古希腊圣哲，他的作品至少得展示出跟他们的系统一样充分的确定性。
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尽管如此，笛卡儿还是继续发展他的哲学和对世界万物运转的解释。他备受争议的理论假定一个充满了物质的宇宙，其中任何物体的运动都由与其他物体的接触所引起。在一段时间内，它有着深远的影响。这个理论的好处是，对于迄今为止很多让人迷惑的现象，以及以前依靠神灵和鬼怪来解释的现象，该理论都提供了机械的解释。
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在此期间，他写成了好几本书，但由于各种原因，没有一本出版。实际上，在《方法论》出版以前，他没有出版任何书。害怕冒犯教会是一个原因，另一个原因是当时还没有科学期刊。至少在法国，马林·梅森（Marin Mersenne）起着科学期刊的作用。他是一位勤于学术的牧师。他在巴黎的小客厅成为当时法国一些最顶尖的数学家的聚会所。这些数学家有：布莱士·帕斯卡（Blaise Pascal）、皮埃尔·伽桑迪（Pierre Gassendi）、吉勒斯·帕桑·德·罗贝瓦尔（Gilles Personne de Roberval）和让·贝格兰（Jean Beaugrand）。在引发笛卡儿与费马之间即将到来的冲突中，贝格兰将扮演一个重要角色。
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梅森和其他杰出的数学家一直保持着通信联系，为整个欧洲的数学交流提供了极大的便利。他常被人称为是“活动的科学期刊”。正是因为他的努力，伽利略的成果才得以在意大利之外的地方广为人知。
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1622年，梅森和笛卡儿建立了密切联系。梅森开始传出话来说，有一个前途远大的年轻哲学家兼数学家正在成长中。到1626年，多亏与梅森的交往，笛卡儿的名望充分地建立起来了，虽然他还没有发表过一个单词。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 《方法论》
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笛卡儿的《方法论》（1637年）实际上是他不同阶段研究成果的大杂烩，尽管它包含了一些新的素材。它的全称是：《谈谈正确引导理性在各门科学中寻求真理的方法》（Discourse on the Method of Rightly Conducting One’s Reason and Seeking the Truth in the Sciences）。它的通常被称为《方法论》（The Discourse）的绪论部分，包含了整本书的基本观念和哲学基本原理。
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在这个开篇部分，笛卡儿提出了四条定律作为论述的指导原则。他写道：“第一条是：不能确知是对的事，不要接受。这就是说，在判断时谨慎地避免仓促和偏见，只接受那些非常清晰地印在脑海中不容置疑的东西。”(6)那么，他的哲学是一种系统化的怀疑。然而，他能够确定一件事，于是，他的名言就此诞生了：“我思，故我在。”他的一个传记作者斯蒂芬·高克罗格解释道：“笛卡儿开始时就向我们展示，假如一个人的怀疑足够大胆，那么，没有什么东西不能被怀疑，除了他在怀疑这个事实之外，而这需要存在某物正在被怀疑。”(7)
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当然，光怀疑是不够的。我在前文已经指出，笛卡儿认为他可以运用数学作为基础来进行建构。正如他提出的：“我尤其喜欢数学，因为它们说理时的确定和明晰。但我还没有精确地掌握它们的正确用法；考虑到它们对机械技术的发展独一无二的贡献，这些基础如此牢固，它们无需我们再往前发展更多，我为此感到惊异。”(8)
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他的书没有对世界做出完整的解释，但它的确主张所有的自然现象都可以做出机械的解释，这是一个非常有力的观念。紧接着这个相对简洁的绪论之后的，是三篇文章。文章举出了一些例子，说明他的方法是怎样得出这个结论的。其中的两篇将成为他跟费马争论的焦点。
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第一篇《折射光学》（Dioptrics）探讨光的本质和特性。笛卡儿不把光看成是运动，而是一种压力或“一种运动的趋向”，它能够瞬间（或者非常接近瞬间）穿过某种弹性介质。这样就很自然地得出了他备受争议的理论：他相信，一个盲人的手杖敲击地面，产生的运动和阻力可以瞬间从敲击点通过手杖传到他手上，我们感受光线方式跟这一样。
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因此，他认为光会在瞬间（或者接近如此）传播穿过光学介质，它的速度在密度大的介质中也就会更大，比如在水中就比在空气中大。
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他也考虑过用碰撞来解释反射和折射。他猜想，在反射中，光线就像一个有弹性的球从一个弹性的表面弹回来一样。折射的道理类似，不过，在折射中，这个球击穿了这个表面。
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通过这个推理，他提出了折射定律：一束光线入射角的正弦值与折射角的正弦值之比是一个常数。即：
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