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数学恩仇录：数学家的十大论战 笛卡儿的《几何》
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在第三篇文章《几何》（Geometry）中，笛卡儿汇总了某些成果，后来证明，这是他在数学上的主要遗产。他提出并解决了古代流传下来的最难解的问题之一。这是古希腊几何学家阿波罗尼奥斯（Apolonius）在公元前3世纪想出来的问题。阿波罗尼奥斯同时代的欧几里得和大约600年后的巴伯斯对这个问题研究颇多。但是，尽管他们和后来的很多数学家做了大量工作，但在笛卡儿之前没有人能彻底解决它——也就是说，在笛卡儿之前，没人能给出一个通用的解法。
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运用他自己的方法，笛卡儿在数年前去钻研这个问题，几周后解决了它。正如笛卡儿所说的这个问题是“给定三（四或更多）条直线，首先要求找到一个点，使得从这个点出发可以画出很多直线，每一条线都与某条给定的直线成一定角度……那么，既然通常有无数个点满足这些要求，就应该找到并描出包含所有这些点的曲线”(10)。
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J·L·柯立芝（J. L. Coolidge）复述了这个问题：“如果从平面中的某一点出发，引出线段与四条给定的直线在平面中相交并成预定的角度，如果第一、三条线段的积与第二、四条线段的积的比是一常数，那么此问题中点的轨迹是一个二次曲线。”(11)
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笛卡儿的主要贡献是给出了这个问题的通用代数解法。他给出的例子用到了四条直线，但他的方法对n条直线都通用。也可以将直线减少到一条，在这种情况下，我们所需要知道的就是给定线段的长度。这些线是坐标系的轴，轴的长度单位能让我们确定要求点的横纵坐标。
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将方程与曲线联系起来，是他的方法的基本特征。同时，笛卡儿把这些点和曲线放在同一个坐标系里，这种做法是以前没有的。然而，这不是我们现在所熟悉的那种直角坐标系。他只用了一个固定的横轴和一个移动的纵轴，这条纵轴不一定是垂直的。但无论如何，这种做法都是一个重大的进步。
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大体而言，他找到了一种方法，可以将卡尔达诺及其追随者的代数学运用到古代数学家的几何上。正如笛卡儿在《几何》中写道的：“在这里，我提请你顺便观察一下，促使古时作者在几何中运用算术术语时所作的考虑，这样做使他们在达到看清两个学科关系的程度后，尝试做出解释时引发很多含混和困难，因而无法再取得进展。”(12)
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用他自己的一条法则，笛卡儿认识到，应该去掉很多数字，不要作“让人费解的［几何］图形”，从而使过程让人望而生畏，而这就是前人所做的。回想卡尔达诺时代，方程还在用口头术语表述。临近16世纪末，一位亨利四世（Henry Ⅳ）的宫廷律师弗朗西斯·韦达（Francois Viete，1540—1603），在代数符号和方程理论的全面改进方面做出了一些重要贡献。韦达是首先用字母代表数的人之一，并至少引进了处于萌芽期的通用符号系统。但他的代数依然与我们今天的有很大不同。他仍然用几何意义来看问题。例如，他视两条线段的积xx为一个面积。于是，就有了这样一个问题：次数超过三次的方程在根本上是否有意义。
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笛卡儿在《几何》开头这样写道：“任何几何问题都可以很容易地简化成这样的术语：知道某些确定线段的长度，即足够对这个问题做出解释。”(13)在他看来，两条线段a和b的积不仅是一个矩形，还是一条线段。同样的，如x2和x3之类的术语也可以看成是线段，而不仅仅是平方或立方。结果，它能够用代数术语来重新表述几何问题，并用代数方法来解它。
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笛卡儿也为方程理论作出了有意义的贡献。他写道：“那么，如果我们想解决任何问题，我们首先假设解法是有效的，并命名所有看起来对解答有用的线——无论它们是否已知；然后，不区分已知和未知的线，通过任何看起来最自然的方式，排除困难得到这些线之间的关系，直到我们能够用两种方法表达出一个简单的数量。”(14)（也就是说，解出这个最后得出的方程。）
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这样，如果把两条曲线放在同一个坐标系中考虑，可以通过解这两条曲线的方程，找到它们的公共根，来得到它们的交点。
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那么，现在我们可以只用两个变量来表达这些关系。例如：如艾米莉·R·格罗绍兹（Emily R. Grosholz）（在巴伯斯的问题里也有）所说：“给定线与轨迹上某点C之间的距离，可以用代数式ax＋by＋c来表达，决定该轨迹的条件可以用有两个未知数的方程来表达。对于三条或四条给定的线，这个方程将会是二次方程；对于五条或六条线，会是三次方程，如此类推。每引入两条线，方程的次数就高一次。”(15)
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笛卡儿也引入了一套符号系统，与我们今天所用的非常接近。在这套系统里，字母表结尾的一些小写字母代表未知数，开头的那些字母代表常数和已知数。
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最后一章主要是《几何》的结论部分。通常，笛卡儿被认为是解析几何的缔造者。解析几何意味着，在这套几何里，一个点用由几个数构成的集合表示，这些数位于现在被称为（笛卡儿）坐标系的坐标系统里；一个几何图形可以认为是点的集合，可以用方程或代数式来描述。然而，这个学科真正建立起来还要很长一段时间。实际上，直到19世纪，这个学科才有了“解析几何”这个名字。
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1637年，在给梅森的一封信中，笛卡儿谦虚地说：“我不喜欢自夸，但既然只有少数人理解我的几何，而且你希望我把对它的评价说给你听，我想这正是我所希望的。在《折射光学》和《大气现象》中，我只是想让人们知道我的方法比一般人的要好点。在我的几何里，我已经证明了这个。因为在开始的时候，我就解决了这样一个问题，而据巴伯斯说，古代任何一个几何学者都没能解决这个问题。”(16)
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正如我上文所说，在这一点上，他错了。古人已经解决了这个问题，但只是针对两三个特例；而他却找到了一个通用解法，这是古人没做到的。总之，笛卡儿认为他找到了一个可靠、有用而且独特的方法。对他来说，这个成就是世界首创的。例如，他完全相信他已经首次研究出发现真理（即可靠、确定的知识）的一个独特方法。虽然他的方法对很多种知识都有效，但他只对发现科学中的“真理”感兴趣。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 沮丧——和冲突
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我们只能想象，笛卡儿看到自己的书被当时一些重要的数学家批评时，一定会感到震惊、沮丧、委屈甚至愤怒。这些评论中，有一些是出自一位毫不知名的律师兼业余数学家皮埃尔·德·费马之手。为了更好地理解当他收到费马的评论时发生的事，我们应该回溯一段历史看看。
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像笛卡儿这样的特立独行者，是不大喜欢直言不讳的。1636年，他同时代的数学家让·贝格兰出版了一本名为《刚体力学》（Geostatics）的书，笛卡儿对此书发出一通严厉的批评。早些时候贝格兰批评了他，笛卡儿的行为多少是一种报复吗？也许是。无论如何，笛卡儿《方法论》的出版给了贝格兰一个反击泄愤的机会。1637年冬天，他设法弄到一份笛卡儿《折射光学》的抄本，开始了凶狠的攻击计划。他在他的同僚（包括费马）之间散发传阅这份手稿，很明显，他希望在还没有出版之前，这本书就会受到严厉的批判。
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对此计划懵然无知的费马不知道这份手稿是通过不道德的途径得到的，发表了一个他认为是纯科学批评的见解。他有好几个反对意见。作为深信实验之重要性的人，他反对笛卡儿在研究物理现象时对数学的依赖。笛卡儿用数学方法来检验有形的物体运动（如球与弹性板的碰撞），这种对“运动趋向”的研究方式，他尤其反对。
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费马说，另一个问题出在笛卡儿对他的折射定律的演示和证明上。费马认为，这实际上根本就不是证明。他声称笛卡儿的结论是对设想的盲从，“在解决运动趋向的所有方法中，作者只选择了能得到他想要的结论的方法；他这样做是在削足适履，我们对这个学科的了解并不比以前多了多少。”(17)
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费马在给梅森的信中写下了他的评论。他以一个建议开头，说我们数学家能够经常“通过在阴暗中四处摸索而找到我们要找的东西”。接着，通过阐述他的异议强化了这个建议。他以一个提议结尾：“我们应该共同寻找真理”，他自己将非常高兴在笛卡儿的研究领域里帮助他。(18)不难想象，当笛卡儿看到这些话时会有怎样的反应。
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显然，费马不知道，在听说伽利略被宗教裁判所拘禁后，笛卡儿收回了出版《论宇宙》（Le Monde）的想法。在这本书中，笛卡儿讲明了他的物理理论，比他在《方法论》里明确多了。因此，马霍尼解释道：“笛卡儿的《折射光学》中没有它引以为基础的宇宙论论述。《折射光学》开头关于光的本性的简短说明不能替代《论宇宙》或《关于光》（笛卡儿撤销了它们的出版计划）中适用范围更广、辨析更翔实的理论……更何况，他得出反射和折射定律的关键步骤，有赖于他在未发表论文里的运动定律。没有《论宇宙》中精确论述的铺垫，那些《折射光学》中出现的定律看起来有些武断。直到1644年（笛卡儿的）《哲学原理》（Principles of Phylosophy）出版后，这些定律才得到充分的论述……也只有在这样的背景下，人们才真正理解费马的批评，因为它恰恰集中在需要更完备的背景这一点上。”(19)
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