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数学恩仇录：数学家的十大论战 对 比
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在这两段插曲之间的20年，笛卡儿远离了数学。但在另一方面，费马却继续勤奋钻研，这使得笛卡儿对费马数学能力的诋毁显得既悲哀又不得体。到17世纪30年代，费马已经显示出他的才能，虽然还不那么广为人知。笛卡儿对费马才华的不悦是笛卡儿的问题，而不是费马的问题。因为在中间的这些年，费马继续努力地钻研数学，并作出好几个重大贡献。首先，他的最短时间原理为物理学数个领域打下了好基础。实际上，这个原理的一个适当修改形式，可以说是整个几何光学的基础。
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费马同样在数论和概率论领域作出了重大贡献，为微积分的发展打下了基础，这一点我们马上就会讨论（详见本书第3章）。实际上，他的成果影响了很多后来的数学家，包括让·伯努利（Jean Bernoulli）（详见第4章）。然而，由于费马不愿意及早发表，他自己在几何光学上的论文直到1679年才出版，这时他已经去世14年了(51)。
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尽管如此，费马还是得到了一些小小的认可，但这大都是他在1665年去世之后的事。到1662年，或许费马对自己的新成果只有很少人的有兴趣感到沮丧，他实际上已经完全从这个领域退出来了。在他生命的最后15年，费马在数论方面的工作在同行间没有引起共鸣，当他去世时，比起理应获得的，他获得的荣誉太少了。部分原因是他对发表论文的态度没有明显的改变。他写信给一个朋友说：“我更愿意去探索具有确定性的真理，而不愿意花更多时间在辩论、虚名和无谓的争执上。”(52)
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另一方面，在最后的这些年，笛卡儿《几何》的新版本一直在出版，而且在不断澄清和简化其理论的努力下，他的论述获得了新的信徒和影响。费马的科学理论也在完善中。但是，有趣的是，正是他们两人在解析几何上的研究最终导致了这个世纪后期微积分的发展，这反过来也促使了笛卡儿科学理论的衰落。
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相比笛卡儿的方法，费马在解析几何上的基本方法与我们现在所用的要接近得多。但是，最后我们还得提出一个问题：费马坚持使用维达的笨重符号，而笛卡儿所用的符号则非常现代化。
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两人都对17世纪的数学作出重大贡献。但令人悲伤的是，这个过程却引发了如此多的辛酸和苦痛。
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(1) 笛卡儿，1954年，前言。
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(2) 马霍尼，1994年，第171页。
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(3) 笛卡儿，米多尼克文集，1965年，第291页。
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(4) 同上书，第292页。
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(5) 高克罗格，1995年，第100页。出自笛卡儿的《指导心灵的规则》（Rules for the Direction of the Mind，1619—1628），科廷汉姆（Cottingham）和高克罗格翻译。
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(6) 笛卡儿，哈钦斯（Hutchins）编著，1952年，第47页。
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(7) 高克罗格，1995年，第309页。
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(8) 笛卡儿，米多尼克文集，1965年，第292页。
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(9) 早在17世纪20年代，荷兰数学教授威利布罗德·斯涅尔（Willibrord Snell）已经研究出一个类似的定律，但他是在自己的实验基础上得出这个定律的。
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(10) 笛卡儿，1954年，第22页。（原版于1637年出版。）
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(11) 柯立芝，1940年，第122页。轨迹可以定义为一个满足给定条件的点的集合。例如在一个平面上，与该平面上一个点等距的点的集合是一个圆。一条二次曲线可以定义为一个平面与一个直立圆锥相交形成的平面曲线。二次曲线通常认为是圆、椭圆、抛物线和双曲线。
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(12) 笛卡儿，1954年（1637年），第21页。
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(13) 同上书，第2页。
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(14) 笛卡儿，1954年（1637年），第6页。
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(15) 格罗绍兹，高克洛格文集，1980年，第159页。
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(16) 笛卡儿，1954年（1637年），第10页，第18项脚注。这指的是笛卡儿自己对巴伯斯问题的解法，它已经译成了英文。其他的解法包括：高克罗格，1995年，第210—217页；马霍尼，吉莱斯皮（Gillispie）著，1971年，第57—58页；格罗绍兹，高克洛格文集，1980年，第157—159页；卡兹（Katz），1993年，第399—404页和霍林代尔，1989年，第130—136页。更通用的解法见波依尔，1991年，第336—346页。适用范围更广的解法见斯科特（Scott），1976年，第84—133页。
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(17) 费马，《文集》（Oeuvres），第2卷，第110页，丹尼尔·库丁译。
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(18) 马霍尼，1994年，第173页。
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