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数学恩仇录：数学家的十大论战 [:1701054489]
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数学恩仇录：数学家的十大论战 他们的早年
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莱比锡大学的数学教授鲁迪格·希勒（Rudiger Thiele）说，两位数学家的父亲的消极态度对兄弟两人的个性产生了不幸的影响。然而，希勒教授认为作为小弟弟的约翰受害尤其深重。随着年岁渐长，约翰养成了极度自负的性格，以此弥补他早年所受到的伤害。他竭尽所能去争取名誉，但他总是发现自己活在哥哥的影子中。于是，他尝试着夸大自己的重要性。
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希勒教授甚至认为，约翰的性格问题事实上让他难以正常评价他自己的数学成就(9)。说到这两兄弟所取得的广泛成就，荣誉应该归谁，希勒指出，在他们相互交往的早期，兄弟俩亲密合作，所以有时很难区分出他们各自的贡献(10)。我前面提到的悬链线和风帆线的解决，可以用这个解释来说明。《大英百科全书》（Encyclopedia Britannica）声称约翰的数学贡献在数量上超过了他哥哥的贡献(11)，希勒认为约翰说了太多假话（Unwahrheiten），以至于确实是他自己该得的名望别人都不承认了(12)。
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但他乐此不疲。1701年，约翰写信给他的父亲：“我从来没有收到过父亲的信，这件事说明你更喜欢哥哥们，而对我没有感情。我真的不值得像我的兄长们那样被关心么？……如果你能告诉我他们是怎么从你那里赢得这种信任和感情的——这是你没有给我的，我将非常感激。因为我的父亲不允许我过自己想过的生活，我已经将自己置于神的引导下。所以，请你不要来巴塞尔带走我的名誉，并说你与之毫无关系。”(13)
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雅各布也一样对他们的父亲强烈不满。他按照自己的座右铭行事，这个座右铭翻译过来是这样子：“我违背了父亲的意愿，但我功成名就。”(14)
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无论如何，在17世纪90年代初，约翰已经真正成为一名数学家。他的名声和实际成就的不断增长，对于需要名望的雅各布来说，已经成为一个实在的威胁。这就埋下了激烈冲突的种子。希勒及其他人认为，随着冲突的升级，约翰往往是事端挑起者。但这种感觉并不总是可靠。数学史家J·E·霍夫曼（J. E. Hofmann）声称雅各布“任性、顽固、好斗、报复心强、自卑心重，但对自己的能力深信不疑。如此性情的他毫无疑问会与自己个性相似的弟弟约翰发生冲突。”(15)
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正是在这个时期（17世纪90年代初），约翰和罗必塔有了交往。1691年，约翰在巴黎。在这里他作为一个新数学的从业者，备受尊敬。很快就发现了新数学的重要性和价值的罗必塔，聘请约翰做他的私人导师。罗必塔家境殷实，给约翰的报酬颇丰。即使约翰回到巴塞尔后，还通过信件继续他们的课程。这些用书面讲授的课程为第一本微分教科书——罗必塔的《无穷小分析》——提供了主要内容。此书也为罗必塔在数学领域取得受人尊敬的名声打下了基础。
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虽然雅各布为约翰的自夸而感到伤心，但两兄弟继续开拓他们的数学事业，同时，他们也与同时代的其他数学家保持交流。他们还继续钻研新数学，并运用于一系列问题中。比如，1694年雅各布对一种迷人的8字形曲线提出了自己的分析。现在的数学课上常会看到这种曲线，通常人们称它为伯努利双纽线。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 关系变了
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1695年，哈勒（Halle）大学邀请约翰担任教授，同时荷兰的格罗宁根（Groningen）大学也向他提供了数学教授的席位。他接受了后者，可是他这样做跟对雅各布的怨恨不无关系——他也许会更喜欢雅各布在巴塞尔大学的位置，但他很清楚，只要雅各布占据这个位置，他就没有机会了。况且，雅各布为了挽救自己的名誉，已经开始行动了：为了报复约翰的自夸，他到处说约翰是自己的学生，只会重复在老师那里学到的东西。
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然而约翰现在的地位和雅各布一样高。1696年，约翰先是在《博学学报》上，后来通过一个小册子，提出了最速降线问题：两点不在一条垂直线上，一曲线连接此两点，一物体在自身重力的作用下从较高的一点下降到较低的一点，沿着某条曲线时速度最快，求这条曲线。凭直觉，有人会以为这个问题的答案是一条直线，这就是说：这两点之间的最短距离。但伽利略已经意识到，答案不是那样的，但他猜想的是一段圆弧也不对。正如我在前面提到的，1697年5月的《博学学报》一起登载了几位数学家提出的解法。这个光荣的团体由伯努利两兄弟、莱布尼兹、牛顿和罗必塔组成。需要指出的是：罗必塔得到了约翰的帮助。
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两兄弟用来解决这个问题的方法尤其有趣，因为在这里，他们充分展示了他们个性和能力的不同。其实，约翰在这里用了一个窍门。他天才的头脑注意到了最快下降路径这个机械问题跟费马的最短时间原理及其在光学中的应用之间的联系。从斯涅耳（Snell）和笛卡儿那里，约翰知道当一束光从一种光学介质传到另一种介质时会发生什么。他指出：他可以把有关折射的正弦定律（详见第2章）与物体在重力作用下的速度方程结合起来：
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然后，约翰将该问题中的垂直平面划分成一系列很窄的水平条带，从一个条带到下一个条带，它们的物质密度有轻微的变化。尽管该质点穿过每个条带时将走直线，但从一个条带到下一个条带时，它的路径将有轻微的弯曲，就像在一系列折射系数有轻微变化的光学介质中一样。于是，该质点的最短时间路径与一个光束穿过一个个介质层时方向做无穷小变化时是一样的。
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接着，约翰写道：“但是，我们现在很容易看到，最速降线就是这样一条曲线：光在穿过一种密度与一个重物在下降过程中的速度成反比的介质时所走过的路径。确实，速度的增加是否取决于阻尼介质含量的多少？我们是否不考虑介质，并假定加速度是由另外的原因遵照与重力相同的定律引起的？——这两种情况下，穿越介质所形成的曲线用的时间都是最短的。我们是否有必要用一种代替另一种呢？”(16)通过让水平条带的数量趋于无穷，他得到了悬链线的曲线。
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另一方面，雅各布提出了一个更形象但乍一看似乎更笨拙的方法：他画了一条曲线，然后用它作为分析的基础。他说：“这个问题可以由此简化为这样一个纯几何问题：求一条曲线，线上所有点的横坐标在一条正比例线上，而纵坐标的平方根在一条正比例线上。”(17)所得的曲线正是要求的。用他们各自的方式，两人向我们展示了这条曲线的正确形式恰好是一条摆线！雅各布的方法更好一些，它更直接、更通用。也就是说，它为同类型的其他几个问题提供了一些通用的法则。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 [:1701054491]
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数学恩仇录：数学家的十大论战 变分法
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数学史家E·T·贝尔说：“詹姆斯(18)·伯努利（就是雅各布）的非凡价值在于——他认识到，从无数曲线中选出一条有给定的最大值和最小值的曲线，这是一种不能用微分解决的新问题，需要发明新方法。这就是变分法在数学上的起源。”(19)
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变分法是某种广义的微积分。它寻求找到给定的有固定值的方程的轨迹、曲线、曲面。在物理问题中，变分法通常用来求最大值和最小值。
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尽管贝尔认为雅各布是这种形式微积分的开创者，但这个说法值得商榷——争论似乎困扰着伯努利家的一切，这是又一个例子。著名学者莫里斯·克莱因同意贝尔的说法，他说，虽然两种解法被证明都有些超前，但在这方面，雅各布的解法更甚(20)。
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