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数学恩仇录：数学家的十大论战 [:1701054509]
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数学恩仇录：数学家的十大论战 冲突开始了
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事情平静了一段时间，康托尔继续准备迎接下一个挑战。1877年，他发现甚至他自己也忽略了无穷的一个性质。在1874年给戴德金的一封信中，他提出了下面的问题：一个平面（比如一个包含边界的正方形）能和一条线（比如一条包含两个端点的直线段）一一对应吗？这样，对于平面上的每个点，在线上都有一个对应点；反过来，对于线上的每个点，平面上都有一个点与之对应。我认为解答这个问题不是一件容易的事，尽管事实上看起来，答案似乎很明显是“不能”，证明它显得几乎没有必要(17)。
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这个故事第一个值得注意的地方是：康托尔应该提出了这样一个问题。第二个值得注意的地方是：3年后他再次写信给戴德金说，他已经阐释了这个问题的答案，是“能”。概括一下，他说n维连续空间可以与一条线上的点集一一对应（具有相同的势）。他写下“我看出了这一点，但我不敢相信。”(18)他的证明有点笨拙，但非常正确。
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戴德金对康托尔的新发现表示祝贺，但提醒他将其发表会很难。他说对了。1877年7月12日，康托尔将阐释这个发现的论文送给《克列尔杂志》。尽管这些发现——所有连续的直线、平面或曲面都是相同等级的无穷——颇有争议，但杂志的编辑答应发表它，魏尔斯特拉斯也承诺在论文面世后宣传它。
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然而随着时间的流逝，很显然杂志社方面没有采取任何行动去促成论文的发表。康托尔怀疑克罗内克在幕后搞鬼，阻挠论文的刊载。他越来越不安，写信给戴德金说他考虑收回这篇论文，尽力在别的地方发表它——尽管《克列尔杂志》以前发表过他的成果。戴德金说服他再等一段时间看，或许他对杂志施加了某些影响。无论如何，这篇有时被称作康托尔的《稿子》（Beitrag）的重要论文，最后确实在第二年进入了公众的视野。
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尽管杂志发表了他的论文，但时间拖得这么长，克罗内克竟能施展阴谋到如此程度，康托尔还是感到很不安。
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克罗内克的阻挠行为背后有部分动力纯粹是出于数学目的，他只是实实在在地不同意康托尔的数学观点，理解这一点很重要。克罗内克认为康托尔在玩弄一些不合逻辑的观念，不应该允许他发表这些没有结果的想法。克罗内克不是第一次这样做，他曾经阻挠过其他关于无理数和无穷的论文的发表。况且，康托尔的证明建立在无理数和实数一一对应的关系上，而对于克罗内克来说，无理数纯粹就不存在。
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可是康托尔的论文最后确实发表了，而且发表在《克列尔杂志》上，这使他成为备受尊敬的人。尽管每个人都很不赞成他的理论，但很明显他正在成为一名革命性的思想者。如果他的感觉和信念是对的，那么他正在创立一门全新的数学，显而易见他是这门新数学的大师。他开始越来越感觉到孤独，对推动世界的无能为力也让他越来越不开心。他无比渴望能成为德国一个重要大学——或者是哥廷根大学，或者最好是柏林大学——的教师。他还认为对比诸如施瓦茨、L·富克斯（L. Fuchs），特别是克罗内克这些名师，他的工资低得太多。实际上，他曾经申请过柏林大学的教职，但魏尔斯特拉斯告诉他：他的申请被拒绝和克罗内克的高薪有关。
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康托尔对此很是不快，但他怀疑此事另有蹊跷。他是对的。看到自己实在不能阻挠康托尔发表论文，克罗内克煞费苦心地抨击康托尔和他的成果。其中一个手段是提出——尽管这些主张从来没有见诸报刊——不仅康托尔的成果是个骗局，他本人也是一个冒充内行的“牛皮匠”和一个带坏青年的“教唆者”，他在诱惑这帮年轻人进入一个“数学疯狂的危险世界”(19)。无论如何，在这场微妙的战争中，克罗内克的权威使他取的绰号成为打击康托尔的有力的武器。
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照著名的数学史家莫里斯·克莱因的说法，克罗内克的抨击的的确确让数学家们怀疑康托尔的成果(20)，康托尔没有被邀请去一个更有名望的大学任教，这很可能是个原因。康托尔全部的研究生涯都在哈勒大学度过。然而需要指出的是，哈勒校方对待康托尔很慷慨，在他需要的时候，他们就可以暂时不安排他上课。
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像克罗内克一样，康托尔认为他们的冲突在某种程度上是一场关于谁的数学观点正确的战斗。即使在这个表面看来不涉情感的角斗场，他也相信最终的结果并不取决于对真理的纯粹求索。他把它看成是“一个有关能力的问题，这种问题永远不取决于说理；克罗内克或我，谁的观点最有能力、最有包容性、最能结出硕果，这才是问题所在。唯有经历岁月的证明才能够决定我们之间争斗的成败！”(21)
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与此同时，在克罗内克进行他的抨击时，康托尔也没有闲着。比如，在申请柏林大学的教职被拒后，他写了一封信，直接寄给柏林的教育部长，抱怨这些抨击。然后在1884年早些时候，他写信给米塔格-列夫勒说：“我从来没想过……我会真正地回到柏林大学，但我还是打算努力争取。当了解到施瓦茨和克罗内克狠毒地密谋攻击我之后，考虑到这会阻碍我回到柏林大学，我认为我必须采取主动，并亲自向部长大人求助。我清楚地知道这样做即刻就会产生的效果：克罗内克肯定会怒火中烧，就像被蝎子蜇了一样，他的后援团也会发出狂嚎，柏林大学的人会以为他们处在非洲沙漠中，四周到处都是狮子、老虎和鬣狗。”(22)
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当然，康托尔是对的，克罗内克确实有所反应。但如果康托尔以为会有人发出狂嚎，那他就错了。克罗内克再一次在幕后行动，没有愤怒的吼叫，有的是很微妙的小动作。他可能隐约意识到了康托尔的神经里潜伏着某种不稳定的因素，这看起来很有可能，于是他谋划该做些什么事，使康托尔的问题变严重。1884年1月，克罗内克联系了米塔格-列夫勒，提出他要在《数学学报》上刊登一篇短文，以此说明“现代方程理论和集合论的成果都是没有实际意义的”。(23)
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康托尔听说了这件事，很显然他认为，克罗内克正设法使他失去一个发表论文的主要出路，就像过去克罗内克竭力反对《克列尔杂志》发表他先前的论文一样。而这份杂志现在仍有欢迎他且富有同情心的编辑。康托尔认为克罗内克要登载在《数学学报》上的文章将惹起争端，他威胁说，如果米塔格-列夫勒接受了这篇文章，他以后就不再把自己的论文投给这份杂志。迫于他在这个领域日显重要，这个威胁起了些作用。但克罗内克一直都没有投来什么文章，也许他只是想刺激康托尔一下，使他做出某些不冷静或者令人不快的事来。正如事后所见的那样，康托尔后来“兑现”了他的威胁——因为别的原因，他断绝了与这份杂志的所有联系。不过正如克罗内克所希望的，毫无疑问康托尔的过激反应损害了他和一个重要支持者的关系。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 后来的康托尔
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然而，这些事都没有阻止康托尔继续源源不绝地创造出新的数学思想。1879年，康托尔开始了一些新的研究，从1879年到1884年，他发表了6篇系列论文，推动了这个课题的发展。康托尔回到先前困扰过他的一个问题。早些时候，他发现了可数无穷（阿列夫零）和不可数无穷，比如实数，他暂时命名为c。但他有些困惑：有集合在规模上处于aleph 0和c之间吗？
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他相信答案是否定的，并希望证明它——在他的算术里，aleph 0和c就像整数中的0和1。后者是我们的数字系统中开始的两个整数，在它们之间没有其他的整数。如果集合论里适用相同的情况，那么c会跟aleph 1相等，他定义其为aleph 0之后下一个级别（或水平）的无穷，于是从这里开始，他可以建立起以aleph为基础的数字系统。
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有几种方法可用来表述他所称的连续统的假设。简单的表示是
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他认为这是对的，但必须证明它。
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在6篇系列论文中的第五篇，展现了他对自己在数学世界的地位的复杂感情。他写道：“这篇论文的发表，不仅大胆地表达了我的愿望，也表达了我坚定的信念：会有这么一天，人们将认为普及这种观念是很平常、很合适、很自然的一步。我依然很清楚地认识到：采取这一步，对当前关于数学中无穷的普遍看法，以及对当前数的本质观念来说，我是在和它们作对。”(24)
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在他的生活和学术生涯的平衡上，康托尔几乎一直都在跟连续统假设作斗争。在这项工作过程中，他经常写信给米塔格-列夫勒，说他已经有了答案；接着他又写信，撤回他的证明，并宣称连续统假设是不对的。这样的事反复发生。他坚持去尝试解决这个问题，这成了他生活的全部。在第六篇论文里，他说答案就要出现了。
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