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数学恩仇录：数学家的十大论战 [:1701054519]
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数学恩仇录：数学家的十大论战 更多的工作
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伯特兰·罗素——对于促进这项一直在完善中的工作的发展来说，他的悖论非常关键——从来都不怀疑集合论极其重要。他在他的划时代著作《数学原理》（Principia Mathematica，1910—1913，与阿尔弗雷德·诺斯·怀特海（Alfred North Whitehead）合著）的前言中写道：“除了运用的符号之外，本书完全建立在格奥尔格·康托尔的成果之上。”(19)
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另一方面，重要的法国数学家朱尔斯·亨利·庞加莱也认识到悖论，特别是罗素的悖论，清楚地表明集合论是一种严重的疾病，它会感染所有的数学领域。罗素和庞加莱这两个人，在另一件事上产生了激烈的冲突，对此我们在下一章会看到。
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与此同时，尽管波莱尔对集合论吹毛求疵，但很显然他比庞加莱更接受这个基本观点。波莱尔认为集合论是某种和数学物理类似的东西。这就是说，它本身不是实际存在的，但它可以被看作是一种引导，反过来能用来发现新的结论，然后这些结论必须通过可接受的方法来验证(20)。
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形势演变成一场僵局。莫里斯·克莱因写道：
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（选择）公理成为备受争论的焦点。
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然而尽管如此，在接下来的一个数学大发展时代，很多数学家一直使用它。在数学家中间，一直都有关于它的冲突爆发，争论它是否是合理并可以被接受的数学。它成为仅次于欧几里得平行公设的最具争议的公理。正如勒贝格所说，因为完全没有共识，反对者只知道侮辱对方。尽管他对这个公理有消极和不信任的态度，但如他本人所说，他本人既大胆又谨慎地采用它。他认为未来的数学发展将帮助我们做出决断(21)。
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这是一个可靠的预言，尽管对于事态发展的结果，他肯定会感到吃惊。首先在1921年至1922年，亚伯拉罕·阿道夫·弗兰克尔（Abraham Adolph Fraenkel，1891—1965）看到，对于集合论的完全应用（例如关于所有集合的集合问题）来说，用策梅洛的公理建立所有的集合是不够的，他改进了策梅洛的工作。为了避免悖论，他对集合的建立加入一些限制，但同时为了满足大部分经典分析的需要，他承认了足够多的集合。结果其他人做了一些改动，但得到的公理体系还是以策梅洛-弗兰克尔体系著称，被集合论学家们广泛应用。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 [:1701054520]
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数学恩仇录：数学家的十大论战 不完备性
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当一些数学家们忙着钻研，而另一些人却深受那些悖论——花园里的大象的困扰。但策梅洛并不仅仅希望解决悖论问题。他还有诸如希尔伯特等其他数学家，曾认为对集合论可靠的公理化会成为算术理论，实际上也为一般的数学打下坚实的基础。但事情没有那样发展。
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在20世纪30年代，奥地利出生的年轻数学家库尔特·哥德尔（Kurt Godel）展示的一些成果表明，从本质上来说，这样一种公理化，无论多么谨慎地提出来，都永远不可能为数学提供出预想中的坚实基础。哥德尔的不完备理论（incompleteness theory）说明对于给定的任何系统来说，在系统中都有不能在系统内证明的命题。换言之，不能依靠完全在系统内的研究来构建集合论的一致性，无论怎样构建它都不行。只有运用更高一级的原理或外部的原理，才能得到这种一致性。
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约瑟夫·道本解释说：“哥德尔说明了，在任何丰富得足够容纳基本算术的系统中，总会有既不能被证明又不能被推翻的理论。它们是悬而未决的，看起来很有可能的是：康托尔的连续统假设可能是这种悬而未决命题的突出例子。”(22)
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后来在1963年，斯坦福大学的数学家保罗·J·科恩（Paul J. Cohen）证明了哥德尔的成果所提出的一些问题。科恩说明，在集合论里，不管是连续统假设还是选择公理，包括策梅洛-弗兰克尔的公理化安排，都不能证明是正确的。
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事实上，科恩进一步相信连续统假设实际上是错误的——在和c之间可以有一个超限数，数学家们有一天会表明这一点。当然如果康托尔能看到这一天，他会伤透了心。科恩是这样考虑的：他疑惑为什么像连续统（c，有时以2的方形式给出）这样一个涵盖丰富的概念应该在势上跟集合一样简单。他更进一步地认为，将来可能会证明连续统比任何超限阿列夫数都要大。
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总之，对于希尔伯特的第一个问题（证明康托尔的连续统假设），我们有了一个答案（各种各样的）。并且很显然，部分答案取决于我们在开始时选择哪种公理作为基础开展我们的研究。
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康托尔的集合论和各种各样对它的反对（通常是很强烈的）将数学带到了一个艰难的关口。当然，长期以来珍爱数学并视其为一门富有逻辑、严格和确定的学科的观点已经被严重损害了。很多数学家不仅对问题有了完全不同的看法，而且他们开始学派纷立，各自持论格格不入。
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例如，悖论产生了很大影响，特别是对于那些关注数学基础的人，因为整个他们钟爱学科的基础看起来开始动摇了，要不就是建立在一个不牢固的基础上。从大约20世纪之交起，相当多的数学家投入到这个问题的研究中来，但他们分成了几个互相敌对的团体。这些人逐渐形成了三个主要团体或者说学派：以伯特兰·罗素和阿尔弗莱德·诺斯·怀特海为首的逻辑主义学派；利奥波德·克罗内克建立、朱尔斯·亨利·庞加莱给予部分支持、鲁伊兹·布劳威尔和赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）为之冲锋陷阵的直觉主义学派；戴维·希尔伯特领导的形式主义学派。我们将在稍后的章节讨论后两个学派。在下一章里，我们将关注罗素的逻辑主义和他怎样发展逻辑主义，同时还有庞加莱的争论以及他为何这样做。
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(1) 莫尔，1982年，第42页。
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(2) 马迪，1990年，第117页。
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(3) 贝尔，1945年，第484页。
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(4) 参见：如莫尔，1982年，第93—141页。
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