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数学恩仇录：数学家的十大论战 8 庞加莱vs罗素 数学的逻辑基础
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1901年的春天，数学家们都面临着罗素悖论（我们在第6章中讨论过）的挑战，很多人都能感觉到他们所钻研的这个学科的基础正在他们脚下动摇。后来，罗素写道：
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对于这种处境，哲学家和数学家们有很多不同的反应。不喜欢数理逻辑并指责它空洞无物的庞加莱高兴地宣称：“它不再（仅仅）是空洞无物，它还引起矛盾。”这话很对，但它对解决问题毫无助益。其他一些不赞成格奥尔格·康托尔的数学家采取了马奇·赫尔（March Hare）的办法：“我对这厌烦了，让我们换个话题。”这对我来说似乎还不够。然而过了一段时间，理解数理逻辑和认识到迫切需要逻辑方法的人开始认真地去尝试解决问题。第一个这样做的人是F·P·拉姆塞（F. P. Ramsey ），很不幸的是，他早逝了，留下了很多未竟的工作。但在《数学原理》（三卷，1910—1913，罗素和A. N.怀特海著）出版前的这段时间，我的解决方法并没有胜过这些后来的尝试，基本上只是在摸索。(1)
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下面是罗素自己对于他的悖论灵感怎样产生的解释。记住，这是罗素在说话，所以如果你在初读和再次审读后都不懂他的逻辑，请不要过多担心，他是怎样被引向了这个矛盾的，他就此写道：
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通过思考康托尔对不存在最大基数的证明，据我粗浅的想法，世界上所有事物的数目应该可能存在最大的数。于是，我把他的证明用到这个数上，看会发生什么。这个过程使我考虑到一个非常特殊的类(2)。沿着这条迄今看起来很恰当的方法思考下去，对我来说，似乎一个类有时候是，有时候又不是它自身的一个元素。例如，茶匙的类不是另一个茶匙，而是不是茶匙的东西的类。（换句话说，所有茶匙的集合不是一个茶匙；所以它不是它本身的一个元素。）看起来有很多支持这种说法的例子，例如所有类的类是一个类。应用康托尔的主张使我考虑不是类本身的元素所组成的类，看起来这些元素应该能组成一个类。我问自己：这个类是否是它自身的一个元素(3)。
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这样，著名的罗素悖论诞生了。看起来，谁的基础它都撼动不了。但它就是有这个能力，它不仅会对数学领域产生深远的后果（详见第6章和第7章），而且它还引起了一场认识上的混乱，时间长达10来年。罗素为此付出了卓绝的努力。尽管为数不多的几个同事在早期给了他支持，但他很大一部分精力都花在应付众多同行的批评上了。
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你也许从第一段了解到，罗素喜欢数理逻辑。实际上，他通常被认为是逻辑主义运动的奠基者，这项运动现在还有很多拥护者，但也引起了很多异议。正如罗素所说，逻辑主义者想说明“所有的纯粹数学都是从纯粹的逻辑前提得出来的，并只运用可以用逻辑术语定义的概念。”(4)
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有时候，人们认为逻辑主义在做两方面的努力。首先，它宣称所有的数学都可以用逻辑术语来诠释。这样，数学术语和符号就组成了一个逻辑术语和符号的有效子集。其次，它宣称所有的数学证明都可以用逻辑证明来重新表达。这样，数学定理也可以组成逻辑定理的合理子集。
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通过强调纯粹数学是由逻辑的步骤组成的，罗素说：“纯粹数学完全是由断言组成的，大意是如果某某命题在某种情况下为真（例如，如果p，那么q），那么另一个某某命题在那种情况下也为真。重要的是，不要去讨论第一个命题是否真的正确，也不用说我们是否只是设想在某种情况下为真……这样，数学可以定义为一门这样的学科：在其中，我们从来都不知道，我们在谈论什么或我们说的是否是真的。”(5)
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不难相信，这招致了批评。罗素在后来写道：“在一开始，这个论题是不受欢迎的，因为在传统上，逻辑是与哲学和亚里士多德联系在一起的，所以数学家们认为这跟他们不相干，那些认为自己是逻辑学家的人也极不愿意被要求掌握一门新的有相当难度的数学技术。”(6)在始终如一地对他进行批评的人中，有一位就是德高望重的法国数学家朱尔斯·亨利·庞加莱。考虑到克罗内克于1891年死后，庞加莱已成为康托尔超限数学的主要反对者，而罗素的逻辑大厦主要就建立在康托尔集合论的基础上，庞加莱对罗素的态度就不会太让人奇怪。
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罗素和庞加莱之间的一系列争论和反击，从1906年初一直持续到1910年罗素做出的最后答复。在这段时间，罗素正值30多岁，而庞加莱50多岁了。在那时，两个人在他们各自的领域都受到了所有人的高度尊敬，因此，他们都很尊重对方。法国天文学家查尔斯·诺德曼（Charles Nordmann）在他对庞加莱的颂词里写道：“生活在上世纪的十几位伟大科学家中间，他创造了这样一个奇迹：在科学界，从来没有一个对他有敌意的人。”(7)但在知识上的互相批评中，庞加莱和罗素彼此毫不留情。
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在讲述这场战斗之前，让我们简单地回顾一下罗素和他的数理逻辑。
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伯特兰·阿瑟·威廉·罗素，1872年5月18日生于威尔士的特雷克（Trelleck）。两岁时，他失去了母亲；4岁时，他失去了父亲；6岁时，他失去了祖夫。他主要由祖母带大。在18岁以前，他一直在家接受家庭教师的教育。
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尽管他因为祖母的好品行（包括她对他的爱和某些积极进取的社交爱好）而热爱并尊敬她，但在成年后，他开始感到很压抑。如他所说：“在我到14岁后，我祖母的知识局限让我很难受，她的清教徒道德规范也开始显得有些过分。”(8)事实上，终其一生，罗素经常发现自己陷入理智与情感的冲突之中。
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到十几岁时，他已经表现出了优异的智力。在他的《自传》（Autobiography）中，罗素写道：
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在11岁时，我的哥哥（比伯特兰大7岁）做我的导师，开始教我欧几里得几何。在我的一生中，这是一桩重大事件，像初恋一样让我激动狂喜。我从来没想到，世界上还有这么美好的东西。在学完第五命题(9)后，哥哥告诉我通常人们认为它很难，但我发现根本就不难。第一次我突然明白我也许有些聪明。从那一刻起，直到38岁与怀特海合作完成《数学原理》，数学是我主要的兴趣，也是我主要的快乐源泉。然而像其他所有的快乐一样，它不是纯粹的。有人告诉我欧几里得几何里的内容都是依据于证明，但我失望地发现他是从公理出发的。在开始的时候，如果哥哥不能给我讲清楚这样做的理由，我就拒绝接受它们。但他说：“如果你不接受它们，我们没法继续学习了。”我希望继续学下去，于是我暂时不情愿地接受了它们。当时对那些数学前提的疑惑一直伴随着我，决定了我后来所从事研究的方向(10)。
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1890年，他进入剑桥大学三一学院学习数学和哲学。两年后，他被邀加入“使徒社”（the Apostles）。这是一个人数不多、人员经过精心挑选的团体，经常在大学里聚会。A·N·怀特海是成员之一，他当时是一位数学讲师，他将对罗素的未来有重要影响。尽管非常清楚他们在智慧上的优越性，但使徒社的成员们仍然竭力不让自己太自鸣得意。罗素把对这种活动的参与看作是“我一生中在剑桥最大的快乐”(11)。实际上，他认为他从使徒社里得到的快乐远比他的成就给他的快乐多。他写道，导师们“在剑桥给我的乐趣是很少的”(12)。他接着说：他“从课堂教学里没有什么收益”(13)。
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对他的早期发展来说，罗素写道：
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在上剑桥之前，我就已经对哲学感兴趣了，但除了密尔（Mill）的书，我没有读别的。为假设数学是对的找到一些理由，是我最大的期望。密尔的《逻辑》（Logic）在这个学科上的主张给我的印象是很不完全的……除了一堆错误，我的数学导师从未向我说明假定微积分正确的理由……在第四学年，我读了大部分伟大哲学家的著作，也读了很多数学哲学上的著作。詹姆斯·沃德（James Ward，罗素在剑桥的导师）一直都给我这个学科最新的书看。每次我把它们还给他时，我都说它们写得很糟糕。我清楚地记得他的失望和他为了让我满意而去找书所付出的艰辛努力。之后，我已经成为剑桥的一名教员了，我从他那里得到两本薄书，两本书他都没读过，也不认为有什么价值。它们是格奥尔格·康托尔的《集合论》（Mannichfaltigkeitslehre）(14)和弗雷格（Frege）的《概念文字》（Begriffsschrift）(15)。最终，这两本书给了我想要的依据(16)。（我们将在本章的后部分讨论弗雷格。现在，我们只能说《概念文字》是一本关于逻辑的书，书中论述了建立算法的形式语言。）
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对康托尔的入迷使罗素对一些小领域产生了强烈的好奇心。在19世纪的最后几年，罗素在伦敦政治经济学院（the London School of Economics）做讲师。他后来写道：“我常常每天走到岳父母在格罗斯菲那路（Grosvenor Road）的家去，在那里我花时间读格奥尔格·康托尔，并把他的要点抄到一个笔记本里。在那时，我错误地认为他所有的主张都是错的，但我还是把它们仔细读了一遍，不放过每一个细微之处。这样做是很有帮助的，后来我发现是我全错了。”(17)
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罗素在校的时候，剑桥经历了一场意义深远的变革。管理层开始认为学术研究是教师工作的重要组成部分，而不仅仅是课后打发时间的业余爱好。原创性的研究成果可以赢得丰厚的奖学金，在1895年，罗素也因为关于几何基础的一篇论文获得一份这样的奖学金。这篇论文发表于1897年。
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在这次成功之后，罗素开始汇集各种观点，以对数学的基础做一番综合的整理，但这是一项颇有倾向性的工作。他的研究，主要是他与朋友们的讨论，还有他的演讲，研究工作使他开始思考：在少数几个基本逻辑概念的基础上创建数学是可能的。这就是罗素逻辑主义的开端。
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