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数学恩仇录：数学家的十大论战 庞加莱之后的罗素
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庞加莱（和其他人）的反对，对罗素和他在逻辑主义上的观点有什么影响？1938年，在他1903年的《数学原理》的再版中，我们可以找到一个相当清楚的画面。可喜的是，他决定“这本书现在所具有的兴趣是历史上的，它存在于这样一个事实中：它代表了在它这个科目发展中的某个阶段。因此，我没有改变任何东西，但在这篇前言中，我应该尽力说明白：在哪些方面，我坚持它表达的观点；在另外哪些方面，对于我来说，后续的研究似乎表明它们是错的。”
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总而言之，他告诉我们：“下文关于数学和逻辑是同一的基本论题，我从来没有看到有任何理由要去修改它。”(50)（就是说，从1903年到1938年。）然而看起来有些东西一直让人困惑，包括逻辑本身的定义，“因此，定义逻辑或数学决不简单，除非运用一些给定的前提”(51)。
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他也提到了庞加莱。即使在1938年，这时庞加莱已经去世26年了，罗素仍然认为有必要去疗救因庞加莱著名的评论所造成的伤痛。他写道：
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我还是回到悖论的问题和类型理论。亨利·庞加莱认为数理逻辑对发现没有帮助，因而钻研它是白费工夫，并且他还对悖论的出现感到欣喜，“La logistique n’est plus sterile；elle engendre las contradiction！”然而，以前被所有逻辑学家接受的前提会引出悖论，数理逻辑所要做的就是让这些悖论变得明显，不管数学有多么无辜。这些悖论不一定都是新近出现的，有一些可以回溯到古希腊时代。(52)
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但罗素不至于蠢到认为他的逻辑主义理论这些年一点变化都没有。他在前言的后面承认：
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在数理逻辑中，还是有很多有争议的问题，它们……我不打算去解决它们。我只一次提到过关于这些悖论的问题，但在我看来，自从我写《数学原理》（1900—1903）以来，（数理逻辑）已经有了非常明确的进步……对我来说，在这中间的34年，我们所需要的哲学上的变化似乎部分归功于数理逻辑在技术上的进步。(53)
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当然有变化。正如克莱因指出的：“尽管在《数学原理》的第一卷中，罗素和怀特海毫不犹豫地引进无穷公理和选择公理，但他们在后来确实放弃了这种做法。他们不仅承认逻辑的基本定律不是绝对的真理，而且承认这两个公理不是逻辑的公理。在《数学原理》的第二版中，这两个公理没有出现在书开头的列表中，在需要它们证明某些定理时，对它们的应用也作了特别说明。”(54)
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实际上在后来的这些年，比起他更加乐观的早年，罗素不再对他的观点抱有终极成功的自信了。在他1938年《数学原理》的前言中，他已经没有那样说了，这要部分地归因于1931年哥德尔对一致性与完备性不相容的证明。（详见第7章）这样做会导致逻辑主义前景黯淡，就像它在早年闻名遐迩一样。
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但是正如罗素所说，一般而言，值得怀疑的原因“有两个相反的方面：首先，在数理逻辑中有某些没有解决的难题，这使它看起来没有人们心目中的数学那样确定；其次，如果数学的逻辑基础是能够接受的，那么它能证明（或有助于证明）很多东西，比如格奥尔格的理论——由于一些没有解决的悖论（逻辑中也有这些悖论），很多数学家都对它表示怀疑。这两种相反的批评有两类代表：希尔伯特领导的形式主义和（鲁伊兹）布劳威尔领导的直觉主义”(55)。
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在下一章中，我们将讨论这两个数学思想的学派，它们与逻辑主义的联系以及在20世纪早期困扰数学的信心危机中所扮演的角色。
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现在，围绕罗素逻辑主义的争议可能和以前一样多。例如，圣母大学（the University of Notre Dame）的迈克尔·迪特弗森（Michael Detlefsen）说：“对于庞加莱的康德哲学观点，罗素所谓的驳斥是不对的。”他主张：“最后我们发现，逻辑学家所声称的数学推理能够‘逻辑化’以及可以严格地完善都是站不住脚的。”(56)一些研究者认为，逻辑主义依然太让人困惑，也太虚弱，以致不堪大用(57)。但有其他人相信，经过适当的改进，它仍然将是一个有用的方法(58)。
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但是通过这种或那种方式，从罗素的那个时代直到现在，罗素的逻辑主义带动了如此众多领域的发展，如哲学、数学、语言学、经济学；特别是今天日新月异发展的计算机科学，更要归功于它(59)。
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(1) 罗素，1959年，第76—77页。
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(2) 罗素的术语“类”和现在用的“集合”具有同样的意思。
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(3) 罗素，1959年，第75—76页。
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(4) 罗素，1959年，第74页。
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(5) 罗素，《神秘主义与逻辑》，1918年（？），第70 —71页。
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(6) 罗素，1938年，第v页。
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(7) 诺德曼，琼斯文集，1966年，第619页。
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(8) 罗素，1967年，第17—18页。
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(9) 在等腰三角形中，两个底角相等。如果将两腰延长相同长度，所产生的两底角也相等。
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(10) 罗素，1967年，第37—38页。
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(11) 莫哈德（Moorhead），1992年，第42页。
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(12) 罗素，1967年，第87页。
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