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数学恩仇录：数学家的十大论战 形式主义的开端
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希尔伯特受邀在第二届国际数学大会（巴黎，1900年）上演讲，他列出了数学家在当时面对的最富挑战性的问题。在演讲中他谈到10个问题，开头三个都是关于数学基础的。第一个问题要求证明康托尔的连续统假设，我们在第7章中讨论过。第二个问题是寻求算术公理一致性的证明——也就是说，证明用基于这些公理的有限逻辑步骤永远不会导致矛盾的结果。广而言之，他在探讨数学的基础本身。正如他在这篇演讲中所说的：“证明（算术）公理的相容性的同时，也是在证明实数或连续统的完备系的数学存在。”(2)
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第三个问题是公理化那些数学在其中扮演重要角色的物理科学(3)。
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过了4年到第三次大会的时候，由于各种（详见第7章和第8章）悖论的出现，对这些基础问题，很多数学家已经产生了不确定的感觉。
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希尔伯特看到：“事情的现状是难以忍受的。只要想想，每一个人在数学中学的、教的和用的定义和演绎方法——确定性的典范和真理——都将导致谬论，这是多么可怕的现实！如果数学思考是有缺陷的，我们到哪里去找真理和确定性？”(4)他想他在几何的公理化上有过成功，为何不把同样的方法用到所有的数学中去？他对大会建议：“我相信，我所设计的所有问题都是可以征服的，通过我称之为公理化的方法（我希望现在能找到它主要的观点），能够得到一个完全让人满意的数字概念基础。”(5)
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在他的观点中，有一个企图让公理化体系更普遍的愿望。他想建立首尾一致的算术公理体系和从它们开始的推导步骤。他还认为，给罗素等人带来麻烦的悖论是由所用语言的语义内容造成的，也就是说是由语句的模糊造成的。例如，从1891年开始，希尔伯特就这样主张：“在所有的几何表述中，用桌子、椅子、啤酒杯这些词来代替点、线、面应该是可能的。”(6)他的目标是希望能按照专门或正式规则来处理数学符号，而不需要理会这些符号的“意思”（具体的、抽象的、直觉的）。一个大致的类比是象棋棋子的规则（这个类比也许不完全准确）：象棋棋子的名字只是提示性的，而不决定象棋的走法。象棋的走法完全取决于惯例和游戏的规则。
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就这样，希尔伯特名之为形式主义的学派诞生了。有趣的是，最开始用“形式主义”这个词的是布劳威尔。事实上，他专门用它来形容希尔伯特式的形式主义。他不加区别地把康托尔和弗雷格-罗素（详见第8章）归在经典（就是说非直觉主义的）数学一类。
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此外，在后来以形式主义者著称的人所做的工作基础上，其他人也做过一些早期的工作，如庞加莱和库蒂拉特(7)。然而，希尔伯特把这些零散的成果汇集起来，产生了有一个名人和一批追随者的，能称之为学派的力量。毕竟直到那时，他还是欧洲最重要的数学家之一，只有庞加莱的名声比他响，因此他所主张的任何东西都很受重视。
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但是在20世纪早期，形式主义还仅仅只是一些粗糙的观念，没有经过审慎、彻底的思考，也没有明确的阐述。但在数学的基础研究中，那些领先的成果开始从英国传到德国，从罗素传到希尔伯特和他的追随者，这种发展的势头已经足够让人满意了。同往常一样，这引出了一个小问题：有些人吸取一个观点后就会超范围使用它。在夸张的形式下，形式主义成了一种讽刺画：这就是认为数学仅仅是一种处理未标记的和未经诠释的符号的方法，因此它不过是一种游戏，没有多大意义。在某种程度上，这实际上是对托马斯·亨利·赫胥黎（详见第5章）立场的响应。但希尔伯特给他“未经诠释的”几何符号加上了额外的诠释因素，使这些符号能用形式规则处理。对于形式主义的夸张说法，希尔伯特与之没有关系。
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无论如何，希尔伯特认为没有理由把形式主义者的观点再往前推进，他把注意力转向了数学分析，特别是积分方程和数学物理学中的一些问题。直到1917年、1918年，他才回到基础问题研究上来。
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但就在这时，荷兰数学家鲁伊兹·E·J·布劳威尔却持有一个与希尔伯特针锋相对的立场，同时他正成为后来被称为直觉主义的数学学派的旗手。他相信人类存在着根深蒂固的关于数学基础的思考模式，大部分以数学方式呈示出来的东西只不过是装饰品而已。
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布劳威尔的传记作者之一，沃尔特·范·斯蒂格特（Walter van Stigt）写道：“布劳威尔和希尔伯特都不具有一种气质，能够将数学争议控制在超然的职业辩论层面上。布劳威尔尤其需要一种人身挑衅来刺激他做出行动，他是一名斗士，需要有私敌来集中他的火力攻击。很难讲希尔伯特和布劳威尔在数学上的各个方面正好相反，但是现在，这场关于数学基础的辩论集中到了直觉主义和形式主义之间。这是一场战斗，目标就是争取谁能在国际上领先。”(8)
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荷兰乌德勒支大学的数学与哲学教授德克·范·达伦在前几年写了一部布劳威尔的两卷本传记。他认为，起初，希尔伯特扮演了那个受辱的主角，但正是希尔伯特主导了后来的战斗。范·达伦说：“毫无疑问，布劳威尔不能容忍剽窃和侮辱，但他不会开衅引发冲突。通常他扮演防卫者的角色。”
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范·达伦说，结果“这场本该纯粹是学术争论的冲突变成了一场针对个人的争斗。1928年，希尔伯特不满足仅由学生出面争论，开始攻击布劳威尔在数学界的地位。对希尔伯特在以前的论文和谈话中所持的敌意，布劳威尔已经不在意了，但希尔伯特还是这样做。”范·达伦认为，希尔伯特没有因此而受到责难是因为他在这个领域的地位——没有人胆敢批评他的论文。“当真正的决裂到来时，对于布劳威尔对他形成的有效阻碍，希尔伯特感到非常恼怒；对于这种不断累积的侮辱及所造成的伤害，布劳威尔也是忍无可忍。”(9)
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结果范·达伦形容这两个人是“这个世纪数学世界里（将要形成的）最有影响的冲突中两个主要的敌手。”(10)爱因斯坦当时在一本杂志的编辑部工作，这本杂志在这场喧闹中扮演重要角色。他本可以成为这场冲突中的关键人物，但他一直保持中立。1928年，当这场戏剧冲突发展到了关键且相当残忍的高潮时，爱因斯坦形容这两个人及他们的追随者之间的争斗为青蛙与老鼠之间的战争。希尔伯特就是那只领头的老鼠。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 老 鼠
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尽管我们很难从爱因斯坦所用的“老鼠”这个词猜出它的意思，但在20世纪头10年，希尔伯特也许是当时最伟大的数学家（庞加莱已于1912年去世）。1862年，他生于柯尼斯堡（Konigsberg）的郊区，并在那里接受早期的教育。他的传记作者康斯坦斯·雷德（Constance Reid）说他的早期学校教育很传统，通常都是靠死记硬背，但是“看起来，他只有自己用脑思考一番才能真正理解些东西”(11)。然而他的数学学得很好，这很适合他这种大脑。雷德说希尔伯特的一个侄女后来回忆说，家里人都认为他有一点点痴狂(12)。
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1880年，他进入柯尼斯堡大学，5年后，他在那里获得博士学位。1895年，他成为哥廷根大学的正教授，这所大学已发展成为数不多的不在大城市的数学中心之一。在那时，他已经展现出了他在数学方面的广泛兴趣和卓越能力。在他整个学术生涯中，很少有领域他没有做出原创性贡献的。
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在某种程度上要感谢希尔伯特日益增长的声誉，哥廷根大学的声誉也在急速地增长，该校一直吸引着其他正在成长中的重要数学家，还有教员，也有学生。他们中间有赫尔曼·闵可夫斯基（Hermann Minkowski，1864—1909），希尔伯特聘他做教员，他后来成了希尔伯特亲密的朋友和同事。大学还在1899年招入策梅洛作无薪讲师。赫尔曼·外尔（Hermann Weyl ，1885—1955）在1903年来到哥廷根，那时他还是一个18岁的“农村小伙子”。后来，在新泽西州普林斯顿高等研究院（the Institute for Advanced Study in Princeton，New Jersey）工作时，外尔写道：“那一个学期，希尔伯特宣布开设关于数字的概念和求圆的面积的课，我擅自去听了。对我来说，大部分课都太难了，但一扇新世界的大门为我打开了。”(13)在即将到来的希尔伯特和布劳威尔之间的战斗中，外尔将成为一个重要的参与者。
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在最终爆发的冲突中，希尔伯特广泛的兴趣是一个诱因。他早期的作品《几何基础》将他引回这个数学领域，他对基础问题潜在的兴趣是因素之一。正如我在上一章所说明的，这本书是他运用皮亚诺的原理，用一种严格的公理化方式重新构造欧几里得几何的尝试，尽管没有使用皮亚诺复杂的符号系统。皮亚诺的一个目标就是不借助直觉将数学用形式语言来表达，希尔伯特对此表示怀疑。他还认为用欧几里得几何作为几何的模板和基础是错误的。他和当时的其他人都认为，欧几里得几何有演绎式的结构，但它充满了隐藏的假定、不准确的定义和逻辑错误。希尔伯特希望为几何建立一个更稳固的基础，同时也消除对直觉的依赖。
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几何学的其他进展也引起了他的注意。19世纪早期，尼古拉·罗巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky）、雅诺什·波尔约（Janos Bolyai）、本哈德·黎曼（Bernhard Riemann）和卡尔·高斯已经说明非欧几何是可能的，从而欧几里得的一个主要基本原理（平行公设）不再是正确的。此外，在欧几里得几何中，三角形所有内角的和是180度；而在非欧几何中，可能得到其他的值。希尔伯特认为，为了整合几何，再整合数学，使之更明确，必须通过剔除某些假设的方法来做尝试。
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因为支持康托尔，他实际已经卷入了冲突。他还认为克罗内克的执着威胁了数学的进展。你会回想起，克罗内克想将数学与高度主观的直觉基础紧密联系起来，通过逐步建构，将其限制在一个真切实在的世界里。而希尔伯特正相反，他只要求逻辑表达的一致性。他确信，对于克罗内克极力反对的无理数，不应该排除在数字的世界之外。没有它们，分析领域将沦为不毛之地。
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此外，希尔伯特还认为，为了加强数学的基础，支持康托尔在无穷上的观念将是必要的。他认为这不仅仅是一个数学问题。他写道：“对无穷的性质进行最后的澄清已经变得很有必要，这不仅是为了各门科学的专门利益，也是为了人类对自身理智的尊严。”(14)
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