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数学恩仇录：数学家的十大论战 青 蛙
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鲁伊兹·埃格伯图斯·简·布劳威尔（Luitzen Egbertus Jan Brouwer）通常以简称L·E·J·布劳威尔闻名。他1881年2月27日生于奥威斯切（Overschie），这地方现在是荷兰鹿特丹的一个郊区。在校期间，他表现很好。当他还是阿姆斯特丹大学的一个本科生时，就在四维空间的连续运动上做出了原创性工作。这使得位于阿姆斯特丹的皇家科学院在他还未毕业时就出版了他的著作。从1904年到1907年，他从事哲学和神秘主义的研究。1905年，他写了一本名为《生命，艺术和神秘主义》（Life，Art and Mysticism）的书。他的思想反映了一些对时代的浪漫想法，表露出一种对人类主宰自然（也就是世界）的拒绝。这包括反对对环境的开采和征服。作为一个真正的神秘主义者，他否认准确交流的可能性和语言的作用。这些观点都将使他对形式主义添上感情色彩。
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他是什么样的人？他的天才是不容置疑的。对于他的性格，人们用愤世嫉俗、自私自利、神经过敏、情绪化和顽固这样的词来描述。在关于布劳威尔的传记中，范·达伦写道：“布劳威尔是一个神经过敏的人，压力之下，他很容易夸大事实。另外，他对正义有种极端的热情。正如路德维希·比贝尔巴赫（Ludwig Bieberbach）（后面我们会说到他）所说，他是一个正义狂（Gerechtigkeits-fanatike）。结果，他会在一种完全像是战争的情势中遭遇不正义——不管是针对谁。”(16)
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作为一个学生，他回避社交，不善与人相处。在他最好的朋友（一个杰出的社会主义者、诗人）指引下，他学会了参加社会活动。慢慢地，他极度渴望结交朋友，而且高谈阔论成癖。
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1907年，他从阿姆斯特丹大学获得数学和物理学博士学位。在那里，他的兴趣延伸到了拓扑学和数学基础，对这两门学科，在其一生中，他都作出重要贡献。尽管还只是个研究生，但在当时数学的讨论中，他有一些很强有力的观点，这些想法都体现在他的博士论文《关于数学基础》（On the Foundations of Mathematics）里。
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关于庞加莱和罗素之间的争论，很明显他站在庞加莱一边。他争辩说虽然逻辑主义可能在某些场合有用，但它不能为数学提供一个稳固的基础。尽管罗素在宣扬数学依赖于逻辑，但布劳威尔主张逻辑依赖于数学。另外，尽管希尔伯特还没有完全发展出他在形式主义上的观点，但布劳威尔已经了解希尔伯特有足够多他不喜欢的东西。他批评希尔伯特的观点，举例说，不能保证有一个可以让人接受的数学结构能够满足一个连贯的数学定理的要求。他还对康托尔的超限数理论不满。
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有趣的是，尽管布劳威尔激烈批评希尔伯特的计划，但这似乎不影响希尔伯特对布劳威尔的感觉。毫无疑问，这是因为布劳威尔的论文是用荷兰文写的，流传不广。比如在1909年，他们在迷人的海滨度假胜地席凡宁根（Scheveningen）会面了。显然晤谈很成功。比希尔伯特小19岁的布劳威尔向希尔伯特展现了他的语言和数学水平。后来在一封给朋友的信中，他形容希尔伯特为“世界上首屈一指的数学家。”1912年，希尔伯特不仅帮布劳威尔推荐了阿姆斯特丹大学的一个教授职位（直到那时，布劳威尔还是一个无薪讲师）。后来到1919年，希尔伯特还给他提供了哥廷根大学的一个教授职位——这绝对是一个晋升。但布劳威尔拒绝了（在将要到来的决裂中，这或许是一个原因）。布劳威尔一直呆在阿姆斯特丹大学，直到他1951年退休。
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布劳威尔在拓扑学上的成就和他在基础数学上的观念为他赢得了一致的声誉，尽管在开始的时候他在直觉主义上的观点还不被广为接受。1912年，他被选为荷兰皇家科学院（Royal Netherlands Academy of Science）成员。自那以后，柏林的普鲁士科学院（the Prussian Academy of Science）、美国哲学会（the American Philosophical Society）、伦敦的皇家学会（the Royal Society）都选他为成员。他还获得过几个荣誉博士学位。
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虽然也做过其他的研究工作，但他主要关注基础问题。1908年，他写出了一篇名为《关于逻辑原理的不可靠性》（On the Unreliability of the Logical Principles）。这篇论文认为运用排中律（PEM，the principle of the excluded middle）的数学证明是不合理的。排中律是一个基本的逻辑定律，也是一个常用的数学技巧。排中律宣称每一个数学表述要么对，要么错，其他可能性都是不允许的。接着，1912年，在阿姆斯特丹大学的数学教授就职演说上，布劳威尔进一步探讨了他认为与这个“定律”有联系的问题。
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布劳威尔认为排中律是用得过于自由的逻辑原理的典型。这个原理宣称每一个有意义的表述要么对，要么错，它是所谓间接证明方法的基础，这种方法允许用常规逻辑或利用矛盾的反证法。在这里，如果某命题不正确，我们可以通过实证产生一个逻辑矛盾来证明某些命题正确。布劳威尔拒绝接受排中律，坚持认为第三种情况是存在的。他使用“未决的”（undecided）这个词来称呼那些通过有限的推导步骤还不能决定是对还是错的表述。他经常置疑建立在排中律基础上的数学证明，称它们是“所谓的证明”(17)。
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1920年，他声称：“将排中律用作数学证明的一部分，是不允许的……（它）只具有学理和启发的价值，因此那些在证明中不能避免使用这个原理的定理是缺乏数学内涵的。”
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希尔伯特回应道：“把排中律排除在数学之外就像……禁止拳手使用拳头一样。”(18)这个要求确实是个极端的限制，很多数学家和科学家都难以接受，特别是那些经常用到它的人。
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第二年，布劳威尔开始宣传他的观点，这开始成为他余生的事业。尽管在1909年和1913年，布劳威尔在拓扑学领域里取得了优异的成果，但他从来没有发表拓扑学方面的演讲。上过他课的巴特尔·L·范德瓦尔登（Bartel L. van der Waerden）回忆说，他从来不看学生，不问问题，总是在直觉的基础上讲课。
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在后来的采访中，范德瓦尔登说：“看起来，他不再确信他在拓扑学中的成果，因为从直觉主义的观点来说，它们不是正确的。他以前所做的工作、他最伟大的成就和他的错误，他都按照他的哲学来作评判。他是一个很奇怪的人，疯狂地爱着他的哲学。”(19)
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当然，布劳威尔看待事物有点不同。在他1919年的论文《直觉主义的集合论》（Intuitionistic Set Theory ）中，布劳威尔指出他早期的拓扑学研究从直觉主义观点来看是不正确的。他接着说，这些工作中的大部分都可以用直觉主义框架来补救。他举了一些例子（例如不动点定理），说明这些成果的直觉主义形式如何得到证明(20)。
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1917年至1920年，布劳威尔开始进一步发展他的直觉主义观点，包括沿着直觉主义思路发展集合论。大约1920年后，他认为是向外界发布这些成果的时候了。这显然是对希尔伯特工作的挑战。更糟糕的是，发表过一篇不寻常的分析基础方面名为《连续统》（The Continuum）的论文的外尔，这时转变了立场。1921年，外尔甚至又发表一篇新文章解释他的新立场，说在某种程度上，希尔伯特的方法将所有的东西都简化成了一种游戏。外尔曾经是希尔伯特的优秀学生，希尔伯特曾指望他成为一个忠实的追随者。1920年春天，在外尔写的一份稿件上，布劳威尔写了一些评论表达了他的想法，并把它送给外尔。布劳威尔以这样的话开头：“你毫无保留的支持给了我无穷的快乐……在一些小地方，我们有不同意见，这只会给我们更多激励。”(21)
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对于这种变故，希尔伯特看得很重。有趣的是，大约1925年后，外尔试着在这两个争论者之间采取中立立场，但那时希尔伯特已经对他有成见了。
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当1922年希尔伯特开始反击时，他写了一篇针对外尔和布劳威尔两人的文章。他首先陈述了他对数学基础比当前所取得的成就更需要深入研究的信念。接着，他写道：“杰出的、成就卓著的数学家外尔和布劳威尔正在通过肯定是错误的途径来寻找这些问题的解决方法。”(22)然后他解释了这样说的原因，并接着陈述他自己的观点。
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他谨慎地指出，他针对连续统基础的方法“并不与直觉相悖。我们从直觉中得出的外延量概念不依赖于数的概念，因此如果我们在数与质量数或数量之间做一个基本的区分，它就会与直觉完全一致。”他接着写道，其他人都曾经仔细研究过这个问题，“如果外尔在这里看到了一个‘基础的内部不稳定，而整个（数学）帝国都建立在这个基础上。’如果他担心‘分析体系的瓦解即将到来’，那么他是见着鬼了。”
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希尔伯特接着说：
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当然，证明公理一致性的问题出现了。这是一个很出名的问题，几十年来我一直关注它。这个报告就是关于这个问题的解决方法的。
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外尔和布劳威尔所做的基本上是沿着以前克罗内克所走的老路。抛弃所有令他们不快的现象，并按照克罗内克的方式建立专政来加以禁止，他们寻求通过这种方式来为数学树立基础。但这意味着肢解并毁坏我们的科学，如果我们追随这些改革者，我们将冒失去很大一批最宝贵财富的危险……我相信，就像克罗内克在当年不能消除无理数一样……今天，外尔和布劳威尔也将行不通他们的计划。不，布劳威尔不是外尔所相信的那样是一个革命者，而是一个重复者，他用着旧工具，尝试在当时用横冲直撞的方法发动一场政变，但还是彻底失败了。现在弗雷格、戴德金和康托尔加入了进来，这个阵营有了更多的武装，力量更强了，这种政变注定要失败。
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