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数学恩仇录：数学家的十大论战 胜利者和新支持者
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很明显，希尔伯特赢了。德克·范·达伦曾仔细研究过这场青蛙和老鼠的战争，他称这整个事件是一场因错误而造成的悲剧，虽然他认为希尔伯特对布劳威尔很恼火是可以理解的。“希尔伯特身染沉疴，他死后布劳威尔对编辑部的影响会造成严重后果，应该都对他的判断能力影响极大……我们不得不同意爱因斯坦的说法：如果布劳威尔是某种威胁，那么会有其他的方法来捍卫《年鉴》……给爱因斯坦的信很有可能表明，一个易受伤害的希尔伯特多少有些个人动机。”(41)
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他担心，一旦有机会，布劳威尔就会把《年鉴》变成直觉主义的堡垒。指出希尔伯特的这一点担忧很有趣，即使是布劳威尔自己的期刊《数学论文集》（Compositio Mathematica）也没有发挥这种功能。
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尽管在生命余下的36年里，布劳威尔做了很多旅行和演讲（他在1966年因车祸去世，享年85岁），但主要是在数学的其他领域。对基础问题来说，他缩回到一个壳里了。他原来认为是同道的人不支持，被《年鉴》如此无情地辞退，加之自己有时反复无常的心理素质，所有这些都促使他形成了范·达伦所称为的“自我孤立”。
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当然，他把希尔伯特看成“我的敌人”。有一次在聚会中，同为客人的范德瓦尔登称希尔伯特和柯朗是他（范德瓦尔登）的朋友，他愤而从聚会中走出来(42)。
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同几个追随者一起，布劳威尔在他的直觉主义上也做了一些研究，但激动人心的时刻已经过去了。尽管直觉主义作为一个学派不大可能成为一个主导力量，但如果他能够继续坚韧不拔地走下去，直觉主义可能会有更大的影响。
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然而这有一个颇有意味的长期后果。短期的结果是，作为一个竞争者，形式主义看起来非常受人欢迎——在相当长一段时间内是这样。但希尔伯特的胜利没有维持多长时间，因为在1930—1931年，年轻的奥地利逻辑学家哥德尔提出了一个证明，该证明在根本上表明希尔伯特的形式主义计划不可能得到实施（详见第7章）。哥德尔的成果震动了整个数学界，也击垮了希尔伯特对解决所有数学问题的乐观信念。
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但希尔伯特坚定的乐观心态使他不愿相信这一切。1931年，他在最后的广播讲话中说：“Wir mussen wissen. Wir werden wissen.”（我们必须知道，我们应该知道。）这句话也刻在了他的墓碑上。1943年，他去世了。
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我在前面提到的颇有意味的长期结果就是：哥德尔的论文几乎彻底摧毁了形式主义，于是只有仍然活着的直觉主义者能够高昂着头说：“我告诉过你这些。”但是一般而言，数学家们倾向于避开基础问题和数学哲学问题。
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在《数学杂志》（Mathematics Magazine）的一篇文章中，恩斯特·斯莱帕（Ernst Snapper）写道：
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不过，三个学派（逻辑主义、形式主义、直觉主义）仍然有很强大的影响，既然他们曾给我们很多新颖和美妙的数学知识。这些数学知识主要关注集合论，直觉主义和建构主义者(43)对它的各种修正，以及数学逻辑和它的很多分支（包括为计算机发展所作的基础研究）。但是，虽然这种数学经常被称为“数学的基础”，但是不能因为我们在这些领域之一工作，我们就可以宣称，我们在改进数学哲学。同几何或分析一样，现代数学逻辑、集合论和修正过的直觉主义，现在是数学的技术分支。如果我们不直接转回到数学哲学上来，我们就不要指望能为我们的科学找到一个坚实的基础。很明显，对于技术型的数学研究来说，这样一个基础是不必要的，但在我们中间，还是有很多人渴望找到它(44)。
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确实，基础而统一的数学理论仍然是难以界定的。斯莱帕相信：“数学基础的关键隐藏在逻辑主义、直觉主义和形式主义的哲学根基之中。”(45)
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(1) 罗素，1919年（1993年），引自斯雷特（Slater），1994年，导言。
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(2) 佩克豪斯（Peckhaus），2003年，第3页。
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(3) 这实际上是他发表的23个问题中的第6个。
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(4) 巴罗文集，1992年，第112页。
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(5) 伯顿文集，1991年，第657页。
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(6) 外尔，雷德文集，1970年，第264页。
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(7) 参见：如第8章；巴罗，1992年，第114页。
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(8) 巴罗文集，1992年，第195—196页。
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(9) 德克·范·达伦，私人交流，2005年8月11日和16日。
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(10) 范·达伦，1990年，第18页。
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(11) 雷德，1970年，第6页。
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(12) 同上。
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(13) 同上书，第94页。
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