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数学恩仇录：数学家的十大论战 数学教育中有危机吗？
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绝对主义者和易误论者之间的争论不仅限于在高调的数学哲学领域，它们在各个领域展开，或许最激烈的还是在数学教育领域。
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虽然一系列的研究似乎都表明，绝对主义仍然是主流观点，但易误论者至少已经将他们的立场渗透进了数学课程，特别是英国和美国。正如我在前文所说的，一个很大的改变是，在20世纪60年代，集合论的符号和公理已经融入了中学的数学教学。
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加州大学伯克利分校的数学教授伍鸿熙（H. Wu）写道：
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到1986年最近的改革想法出台的时候——这一年，NCTM（全国数学教师委员会，National Council of Teachers of Mathematics）召开了第一次会议，制定了NCTM标准，传统课程中“证明”的观念已经变得不存在了，或者说已经退化成无意义的形式。对于那些在20世纪40年代和50年代上学的人来说，这种做法会让他们感觉奇怪，因为我们中的不少人曾经被欧几里得几何——这是求证问题的精华部分——吸引过，从而成为数学家。但现在，欧几里得几何也许是学校数学教学中最被贬低的部分。发生了什么？经历了20世纪60年代的“新数学运动”（New Mathematics）和70年代的“回归基础运动”（Back-to-Basics Movement）之后，学校的数学课程显得过于简单，太缺少难度了(29)。
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这样在美国，特别是在英国，掀起了很高的呼声，认为：在过去的20年，学生的数学能力在不断减弱。这与数学界发生的重要变革是同步的。这并不能证实教学法的改变是值得指责的，但在很多至今仍持绝对主义观点的数学家中间，仍怀有很深的怀疑。
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对这种针对易误论思想的挑战，不会没有反击。比如保罗·恩斯特说：“他们的抱怨（即是说绝对主义者的抱怨）过时了。自从1851年的世界博览会（the Great Exhibition）开始，学校的数学教育就饱受批评。人们指责布尔战争的失败是差劲的数学教育导致的。本世纪，工业的相对衰退也被指责为是学校数学和科学教育的结果。”
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恩斯特说，真正的问题是“太多的中学高级水平课程（A level）的数学和大学数学教育过时了，也让人厌烦”。看起来，问题不在于改变得太多，而是改变得不够。
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人们指望学生们学习课本知识和解题技巧，回到应付考试的老路上去，而不是让他们体验研究和应用真正数学的快乐。学生们被剥夺了体验“真正数学”的机会，而我们只是给他们提供掺了水的替代品。这些呼吁都没有起到任何作用。
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相反，问题是，学生们被要求做很多无意义和重复的练习……这种让人遗憾的情形不是因为数学教育变得太“温和”了，而是因为它再也不能激起学生的热情和兴趣了。为什么像分形论（Fractals）和混沌理论（Chaos Theory）这样激动人心的新观念都没有纳入学校教育中？
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恩斯特接着说：
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不容人置疑的绝对主义者观点跟女学生讨厌数学有极大关系。
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如果数学有了危机，我会说这种危机就存在于某些大学数学教授的态度中，他们到处找问题，就是不找自身的原因。无论是回归基础运动还是以温和教育为中心的革新论，都不会解决数学教育面临的问题。像我这样的数学教育工作者和研究者都承认，我们都需要做得更好，想出更多办法(30)。
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事实上，不是每个人都同意数学教育衰落了。在一部分人当中，他们对于某些问题有根本的分歧：学生应该在数学中学什么；同时，他们应该学些什么其他的东西，他们是否能学会；在校期间，他们需要掌握哪些技能；在后来他们需要这些知识和技能时，他们能记起多少。
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加州大学伯克利分校的教育学教授阿兰·H·萧恩菲尔德（Alan H. Schoenfeld）认为，这场运动才刚刚开始，我们现在只有一些初步的数据。他写道：“不过这些数据表明，改革的最初几步看起来正朝正确的方向上走。”他基本上同意恩斯特的说法，“在好几个领域，不仅包括课程，还包括发展教学团体及改进评估方法方面，我们都需要做多得多的工作。”(31)
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数学恩仇录：数学家的十大论战 教学法和哲学
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激烈的争论还在继续，它让我们回想起最初的问题。因为在数学教学和数学哲学及认识论之间有着紧密的联系。因此，鲁本·赫希在《数学进展》（Advances in Mathematics）中写道：“数学是什么的观念影响着我们应该如何表达数学观念……那么这不是‘最好的数学教学方法是什么’的问题，而是‘数学到底是关于什么的’的问题。”(32)
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英国开放大学（the Open University in the United Kingdom）的伯吉特·佩平（Birgit Pepin）研究过英国、法国和德国的数学教育。她认为：“很多在教室里对人类思想和实践有影响的因素既看不见，也不好确认。这样说更好：这些力量是看不见的，有时‘觉察不到’，它们通常是无声的原理、哲学和信念，对教育机构产生潜移默化的影响。”(33)
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科学的发展也提供了一个例证。雷内·托姆指出，很多年来，科学教育都从科学哲学的发展中得到灵感。他还说：“（数学中的）教育研究者们正越来越意识到他们在方法和探求中的认识论基础……”他总结道：“事实上，无论我们是否愿意，所有的数学教学，即使很不一致，都有赖于数学哲学的指导。”(34)
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1992年，加拿大安大略省女王大学（Queen’s University）的杰弗里·鲁内（Geoffrey Roule）报告了一场有趣的课堂实验。请一群实习教师写意见书，让他们在以下方面表明立场：数学课题、学生、教师以及数学学习与社会的关系。大部分人选择了相当于绝对主义者的立场，主张选择课题应该适应学生的需要，能够使用他们学过和用过的概念解决实际问题。只有一小部分人更贴近易误论者的观点，更注重“自我发现”。然而一般来说，鲁内清楚地表明“学生心中的数学（哲学）形象显然会产生相应的教学观点”。接下来的这段话清楚表明了鲁内的易误论者教学观点：“另外，这种占主导的实用教学观点使得教学实践不大可能吸引学生的想象力，让学生走在一条提出问题并解决问题的路上。”(35)
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最后，保罗·恩斯特说：“数学教育哲学不是关于发展课程的学问，而是一个理论基础，可以凭此发展课程。”(36)
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于是，我们回到了最初的问题：数学是发现的还是发明的？或者换句话说：是绝对主义者对还是易误论者对？我们会发现，如果这个问题有一个可靠的答案的话，这个答案会在很久之后才能找到。这个结果既会影响数学教学界，也将依赖于它的发展。毕竟今天的学生终究会成为未来的课程规划者。
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(1) 恩斯特，2004年（“连接数学哲学与数学实践”）。
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