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数学与知识的探求 第5章 数学主导了物理科学
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我们可以说大门已经第一次对一种新方法敞开，这种新方法充满了多种奇妙的结果，将来会引起其他人的关注。
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加利利·伽利略
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在探索数学如何揭示和确定我们关于物理世界的知识的过程中，我们已见到人们接受行星运动的日心理论是出于数学的理由。如果数学上的优点不是那样明显，这一理论能否生存是很难说的，尤其是考虑到教会的反对。然而，这一理论的确存活下来，而我们将看到，其他理论也是这样，尽管违背我们的感官知觉或迫使我们接受感官知觉达不到的物理实在。接受这种理论的基本理由是从17世纪开始的数学对科学的统治，再加上那个时代普遍接受数学是真理这一信念。我们的主要目的是探讨数学关于我们的物理世界揭示了什么，但现在我们将偏离这一目的，来看看数学是如何成为真理的顶点，成为研究物理世界的非常有效的工具。
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以萨克·牛顿（Isaac Newton）勋爵曾说过，他是站在巨人的肩膀上。这些巨人中最魁伟的就是莱内·笛卡儿（1596—1650）和加利利·伽利略（1564—1642）。现代数学所取得的巨大成就不仅归功于对数学不断增长的强调，而且归功于这两位17世纪超群的思想家所开创和追寻的方法。
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在17世纪以前，科学思想已确立的体系和科学活动的本性导源于亚里士多德。亚里士多德研究自然的方法的主要特征是寻求物质的或质的解释。亚里士多德学派试图用他们相信是基本的质或实体，例如热与冷、湿与干，来解释地球上的现象。他们认为这些质的结合产生了四种元素——地、空气、火、水。这样，热与干的质产生了火，热与湿产生了水，如此等等。四元素的每一种都有一种独特的运动。火是最轻的，自然寻找天空，而土质的东西自然寻找地球的中心。亚里士多德还研究了他所说的剧烈运动，其中一物打击、驱动另一物。
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固体、液体和气体被认为是三种具有根本不同质的物质，而不是如我们所说的，是同一物质的三种状态。对于希腊人来说，从液态变到气态是一种质的丧失、另一种质的获得。不同的物体在基本的质上不同。例如，他们认为，在将水银变成金子的过程中，就去除了水银中液体的质，而代之以坚硬的质。在近代化学的早期阶段仍然遵循这种关于基本质的观念。照这样看，硫含有可燃的质，这种质叫作燃素；盐含有可溶质；金属含有水银质。直到19世纪，热还被看成是一种叫作热素的质，当物体获得热时，就得到了热素；失去热时，就失去了热素。
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亚里士多德学派试图根据物体所含有的质或者基本物质来给物体归类，因而它们的主要目标之一就是归类，这种方法在生物学中仍是基本的。为解释一个事件如何引起另一个事件，亚里士多德学派构造了一种精致的方案，其中所有的现象都因四种原因而发生：质料因、形式因、作用因和终极因。为区分这些原因，我们来考虑一个艺术家做雕像。质料因是石头和艺术家的工具；形式因是艺术家头脑中的设计；作用因是艺术家在雕琢石头；终极因是雕像在美化房间或建筑中的目的。终极因或目的因是最重要的，因为它赋予整个活动以意义。在这一方案中，数学在哪里？因为对古希腊人来说大部分数学是几何学，而几何学研究的是图形，数学主要在描述形式因时有用，而这是相当有限的作用。
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亚里士多德学派研究自然的方法在中世纪和文艺复兴时期能占统治地位有几个原因。亚里士多德的著作包罗广泛，比其他希腊人的著作传播更广。更重要的原因是，亚里士多德关于终极因的理论为天主教神学所采纳和支持。对地球上的人类生活的解释是，它为我们走向天国作准备；教会普遍解释地球上的现象是为上帝的意图服务。
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尽管我们在这里没有必要追踪文艺复兴的历史，但我们可以肯定地说，到1600年毫无疑问欧洲科学家为数学在研究自然中的重要性所影响。最强的证据就是，为了一个在当时只有数学上的优点的理论，哥白尼和开普勒就愿意推翻旧的天文学、力学和宗教教义。
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为什么起始于17世纪的科学活动结果证明是有效的？那些作出贡献的人如笛卡儿、伽利略、牛顿、惠更斯和莱布尼茨比古代文明中的科学家智力更高吗？很难说。是因为越来越多地采用观察、实验和归纳这些罗杰·培根和弗兰西斯·培根所倡导的方法吗？显然不是。求助于观察和实验在文艺复兴时期可能是一项革新，但这种研究方法古希腊科学家至少是熟悉的。仅仅是数学在科学研究活动中的运用也不能解释现代科学的惊人成就。尽管17世纪的科学家知道他们工作的目标就是寻找出各种各样现象背后的数学关系，但对于科学活动来说探求自然界的数学关系并不是什么新鲜事。
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如果只是遵循古代文明的足迹，大概就不会有现代科学的惊人成功以及导源于17世纪及后来的科学的创造新数学的巨大动力。在17世纪，笛卡儿和伽利略改革并重新表述了科学活动的本性。他们选择了科学应该运用的概念，重新定义了科学活动的目标，改变了科学的方法论。他们的重新表述不仅给予了科学前所未有的力量，而且将科学牢牢地与数学捆在一起。事实上，他们的方案几乎将理论科学还原为数学。为理解从17世纪以来推动数学的精神，我们必须首先考察笛卡儿的观念。
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当笛卡儿在位于弗莱舍（La Flèche）的学校读书时，就开始思考人类怎么会宣称知道那么多真理。部分是因为他有一颗批判性的头脑，部分是因为他生活在一个统治欧洲上千年的世界观正受到激烈挑战的时代，对于教师和教派领袖强烈、教条式地宣布的信条，笛卡儿不能再满足了。当他意识到他是进了一所欧洲最有名的学校之一，并且并不是一个低能的学生时，就感到更有理由持怀疑态度。在学完课程后，他得出的结论是，哪里也没有确定的知识体系。他所受的教育只是使他发现了人类的无知。
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应该承认，他的确认识到通常类型的学习中有一些价值。他承认雄辩术有无与伦比的力量和美，诗歌有销魂的优雅与狂喜，但是他认为这些是天赋而不是通过学习得来的。他敬重神学因为它指出了通向天国之路，他自己也想到天国里去。但是“因为确定地习于这样理解：通往天国之路对于无知的人像对于有学问的人一样畅通，并且导向天国的天启真理超出了我们的领悟能力”，他不敢擅自将这些真理放在他无能的理性下来考察。他承认哲学“提供了貌似握有真理地谈论所有事情的手段，博得了头脑简单之人的赞赏”，然而（迄今）它没有产生任何不容置疑的东西。在批评了其他的学问，包括法学、医学和道德学以后，笛卡儿发现只有数学才是通向真理的可靠道路。
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笛卡儿明确表示他相信数学是科学的精髓。他写道：“除了几何学或抽象数学中的原理外，他不承认也不希望有任何物理学原理，因为用这些原理就可以解释自然界的所有现象，有些现象还可以证明。”客观世界是空间的充实或几何学的具体化，因而其性质可以从几何学的第一原理推导出。
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笛卡儿详细阐述了为什么世界可由数学格致。他坚称物质最可靠最基本的性质就是形状、空间中的广延以及空间和时间中的运动。因为形状只是空间中的广延，所以广延和运动是基本的实在。这样笛卡儿宣称：“给我广延和运动，我将造出宇宙。”
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笛卡儿说，为了确立真理，应该用数学方法，因为这种方法超越于它的研究对象：“它比人类流传下来的其他获取知识的工具更有力量，是其他工具的源泉。”沿着同样的思路他继续说道：
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所有研究目的关乎秩序和尺度的科学都与数学有联系，这种尺度是在数量、形状、星星、声音中寻找还是在其他的物体中寻找是不重要的。因此，应该有一门普遍的科学来解释所有关于秩序和尺度的知识，独立于对于任何研究对象的运用；这门科学的专名已为长期的用法所神圣化，这就是数学。它在用处和重要性上远远超过依赖于它的科学，证据就是它同时包括了这些科学和许多其他的科学所追求的目的。
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他的结论是：
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几何学家习惯用来达到他们最难的证明之结论的那种简单而容易的推理链，促使我设想，人类有能力知道的所有事物都是以同样的方式相互关联。
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从他对数学方法的研究中，他分离出在任何领域中获取精确知识的下述原理（包含在rules for direction of mind中）。除了那些如此清楚而明确地显示于他的头脑以至于排除任何怀疑的东西外，他不接受任何东西是真的。他将把难题分析为更小的难题；他将从简单的到复杂的逐次研究；最后他将彻底总列和重审他的推理步骤以不漏掉任何东西。心智对于清楚明确的基本真理的直接把握，这种直觉力和对于结果的推导是笛卡儿关于知识的哲学之精髓。那么他如何区分可接受的与不可接受的直觉？答案就在于“清楚”、“明确”这两个词中。他在他的第三条规则中说道：
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关于我们打算研究的对象，我们应该探求的既不是别人的想法也不是我们自己的猜想，而是我们能够清楚明显地直觉地或确定地推导的，因为获取知识没有其他的方法。
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按照笛卡儿的说法，只有两种心智活动能使我们达到知识而没有犯错之虞：直觉和推理。他在后面的段落中给出定义，这是这些规则对于清楚理解它的方法几乎不可或缺的又一个范例：
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我所用的直觉，意思不是不稳定的感官证据，也不是带着无用构造的想象力的虚假判断，而是纯粹、专注的心智的概念构造能力，这是如此容易如此明确以致关于我们所正在理解的东西没有任何怀疑。或者换一种说法，直觉是纯粹、专注的心智的不怀疑的概念构造能力，只来自于理性之光，甚至比推理更为确定因为它更简单；尽管如我们上面已说过的，在推理中人类心智也不可能犯错。这样根据直觉人人都明白他存在，他思想，三角形只由三条线段所围，球体为单一平面所围，以及其他类似的事实。
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为加强他对人类能够通过数学发现自然规律的信念，在《论正确地引导理性在科学中寻求真理的方法》（Discourse on the Method of Rightly Conducting the Reason and Seeking Truth in the Science, 1637）一书中，他论证道，因为上帝不会欺骗我们，我们能够确信，心智清楚明确地认识的真理以及我们通过纯粹的心智过程得出的推论，真实地适用于物理世界。
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