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复杂 [:1701064726]
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混沌的共性
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最早用术语混沌来描述对初始条件具有敏感依赖性的动力系统的人是物理学家李天岩（T.Y.Li）和约克（James Yorke）。 [29] 这个词用得恰到好处：在口语中“混沌”一词意指随机和不可预测，在逻辑斯蒂映射的混沌中就有这些性质。然而，与口语中的混沌不同，数学混沌还有本质上的秩序，即很多混沌系统所共有的普适性。
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第一条普适性质：通往混沌的倍周期之路
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在前面的数学探讨中，我们看到随着R从2.0增大到4.0，逻辑斯蒂迭代最初会产生不动点，然后是2周期振荡，然后是4周期，然后是8周期，一直下去，直到出现混沌。在动力系统理论中，这些突然的周期倍增被称为分叉（bifurcation）。不断分叉直至混沌的过程就是“通往混沌的倍周期之路”。
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我们经常用分叉图来表现分叉，分叉图是“控制参数”（比如R）和系统吸引子之间的函数关系。图2.15就是逻辑斯蒂映射的分叉图。横坐标为R，纵坐标是各R值对应的x的最终值（吸引子）。例如，R=2.9时，x会到达固定点吸引子x=0.655。R=3.0时，x会到达双周期吸引子。这就是图中第一个分叉点，不动点吸引子换成了双周期吸引子。在3.4和3.5之间，又分叉为4周期吸引子，后面不断周期倍增，直至R到达3.569946附近，开始出现混沌的发端（onset of chaos）。
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▲图2.15 逻辑斯蒂映射分叉图，用吸引子作为R的函数
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通往混沌的倍周期之路有着悠久的历史。 [30] 早在20世纪20年代，就在数学方程中发现了倍周期分叉，20世纪50年代芬兰数学家米尔堡（P.J.Myrberg）描述了类似的连续分叉。洛斯阿拉莫斯国家实验室的梅特罗波利斯、保罗·斯坦和米隆·斯坦证明，倍周期之路并不是只有逻辑斯蒂映射才有，事实上任何抛物线形状的映射都有类似现象。这里“抛物线形状”意指映射的图形有一个隆起——用数学术语说就是“单峰（unimodal）”。
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第二条普适性质：费根鲍姆常数
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到20世纪70年代，物理学家费根鲍姆（图2.16）的发现让倍周期之路得以在数学界闻名。费根鲍姆用一台可编程的台式计算器算出了倍周期分叉点的R值表（其中“≈”表示“约等于”）：
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这里R1对应周期2 1 （=2），R 2对应周期2 2 （=4），Rn对应周期2 n 。符号∞（“无穷大”）用来标志混沌的出现——周期为无穷大的轨道。
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费根鲍姆注意到，随着周期增大，R值之间的距离越来越近。这意味着随着R的增大，分叉之间的间隔越来越短。在图2.15的分叉图中可以看到这一点。费根鲍姆用这些R值计算了分叉靠近的速度，也就是R值的收敛速度。他发现速度约等于常数4.6692016。这意味着随着R值增加，新的周期倍增比前面的周期倍增出现的速度快大约4.6692016倍。
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▲图2.16 费根鲍姆（美国物理学会西格尔图像档案，当代物理藏品）
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这很有趣，但还不至于让人震惊。当费根鲍姆研究了其他一些映射后——逻辑斯蒂只是研究过的映射之一——事情变得更有趣了。我在前面提到，在费根鲍姆进行这些计算之前的几年，他在洛斯阿拉莫斯的同事梅特罗波利斯、保罗·斯坦和米隆·斯坦就证明了所有单峰映射都会有类似的倍周期现象。费根鲍姆下一步做的就是计算其他单峰映射的收敛速度。他先算了正弦映射，正弦映射与逻辑斯蒂映射相似，不过用的是正弦函数。
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费根鲍姆重复了前面的步骤：计算正弦映射的倍周期分叉点的R值，然后计算这些值的收敛速度。他发现收敛速度为4.6692016。
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费根鲍姆很吃惊，速度是一样的。他又检验了其他单峰映射，结果还是一样。所有人，包括费根鲍姆自己，都根本没有想到会是这样。发现这个结果后，费根鲍姆接着又从理论上解释了为何常数4.6692016具有普适性——对所有单峰映射都成立。这个数现在被称为费根鲍姆常数。常数的理论解释使用了一种复杂的数学技巧——重正化（renormalization）。重正化最初是从量子力学中发展出来，后来又被应用到另一个物理学领域：相变和其他“临界现象”的研究。费根鲍姆将其引入了动力系统理论， [31] 并成为理解混沌的基石。
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后来发现这并不仅仅是数学现象。费根鲍姆做出这个发现之后，他的理论在多个物理动力系统的实验中得到了证实，包括流体、电路、激光和化学反应。在这些系统中都发现了倍周期分叉，也用类似的方法计算了费根鲍姆常数。在这些实验中很难准确测量分叉点的R值，但即使这样，实验得到的费根鲍姆常数也仍然在接近4.6692016的误差范围之内。这很让人印象深刻，因为费根鲍姆的理论在算出这个数时只涉及数学，没涉及物理。正如费根鲍姆的同事卡达诺夫（Leo Kadanoff）所说的，这是“一个科学家所能遇到的最好的事情， [32] 头脑中想到的东西在自然界中得到了完美的印证”。
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气象这样的大尺度的系统很难直接做实验，因此没有人在大尺度系统中直接观察到倍周期分叉或混沌。不过，一些气象计算机模型 [33] 却表现出了通往混沌的倍周期之路，另外电力系统、心脏、行星等系统的计算机模型中也有类似发现。
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关于这个故事还有一件让人吃惊的事情。同许多重要的数学发现一样，几乎在费根鲍姆做出他的发现同时，另一个研究小组也独立发现了这个规律。这个小组是法国科学家科雷特（Pierre Coullet）和特雷瑟（Charles Tresser），他们也用重正化技术研究了倍周期分叉， [34] 并且发现了单峰映射的普适常数4.6692016。费根鲍姆也许的确是第一个发现者，并且向科学界广泛而清晰地传播了这个结果，所以这个成就大部分被归功于他。不过在许多科技文献中，也称这个理论为“费根鲍姆—科雷特—特雷瑟理论”，称费根鲍姆常数为“费根鲍姆—科雷特—特雷瑟常数”。在书中还有几个这样的例子，都是在思想条件成熟时同时独立做出发现。
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混沌思想带来的革命
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在这一章我们看到，混沌的发现使得科学的许多核心原则被重新加以思考。这里我总结一下这些新思想，19世纪的科学家几乎没人会相信这些。