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一个简单的例子
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用一个简单的例子解释一下。为简便起见，假设带子上的符号只有0和1（同真正的计算机一样），而空符号则指格子中为空。我们设计一个图灵机，它读取的带子上有两个0，中间夹着一串1（例如，011110），然后判断1的个数是奇数还是偶数。如果是偶数，机器最后就在带子上输出一个0（其他格子为空）。如果是奇数，最后就在带子上输出一个1（其他格子为空）。假设带子的输入总是刚好有两个0，中间夹着零个或多个1，其他的格子都为空。
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我们的图灵机的读写头得有4种可能状态：启动、偶数、奇数和停机。读写头最初停在最左边的0，处于启动状态。我们编写规则让读写头往右移动，每次一格，用空格替换遇到的0和1。如果读写头在当前格子中读到1，读写头就变成奇数状态，并往右移动一格。如果再次读到1，就变成偶数状态，再往右移动一格。就这样读到1就在偶数和奇数状态之间切换，一直往下。
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如果读写头读到0，输入就走完了，这时所处的状态（奇数或偶数）就是想要的结果。然后机器根据状态在当前格子里写1或0，并变成停机状态。
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下面是读写头实现这个算法的规则：
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1.如果处于启动状态，当前格子为0，就变成偶数状态，把0擦掉，并往右移动一格。
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2.如果处于偶数状态，当前格子为1，就变为奇数状态，把1擦掉，并往右移动一格。
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3.如果处于奇数状态，当前格子为1，就变成偶数状态，把1擦掉，并往右移动一格。
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4.如果处于奇数状态，当前格子为0，就在格子中写入1，并变成停机状态。
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5.如果处于偶数状态，当前格子为0，就在格子中写入0，并变成停机状态。
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首先在带子上写好输入，然后让图灵机根据规则顺序处理输入，这个过程被称为“根据输入运行图灵机”。
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定义为图灵机的明确程序
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在上面的例子中，如果输入的格式正确，不管具体的输入是什么（包括一个1也没有的情况，这时视为有偶数个1），根据输入运行图灵机都能确保得出正确的输出。虽然这有点小儿科，但你还是得承认这是一个解决奇偶问题的“明确程序”，每一步都很明确。图灵的第一个目标就是落实明确程序的概念。其中的思想是，对于特定的问题，你可以通过设计一个解决这个问题的图灵机来构造明确程序。这样“明确程序”就定义为图灵机，虽然目前还有些模糊不清。
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在对此进行思考时，图灵并没有真的去建造一台机器（虽然后来他这样做了）。他对图灵机的所有思考都是通过纸和笔完成的。
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通用图灵机
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接下来，图灵又证明了图灵机的一个神奇特性：人们可以设计出一种通用图灵机（称之为U），它可以模拟任何图灵机的运作。U在模拟图灵机M处理输入I时，U处理的带子上不仅包含编码输入I的序列，还包含编码图灵机M的序列。你可能会奇怪图灵机M也能被编码，不过这其实不难。首先，所有规则（同前面那五条差不多）都可以简写成下面这种形式：
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—当前状态—当前符号—新状态—新符号—动作—
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这样前面的规则1就表示成：
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—启动—0—偶数—空—右移—
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（分隔符“—”不是必需的，只是方便我们读规则。）然后用0/1序列对规则进行编码：例如，启动=000，偶数=001，奇数=010，停机=100。类似的，符号也能编码成0/1序列：例如，符号“0”=000，符号“1”=001，空符号=100。0/1序列可以随意设定，只要与符号一一对应就行。状态和符号——比如启动和“0”——之间使用的0/1序列可以相同；因为我们知道规则的结构形式，据此就能分析出编码的内容。
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类似的，也可对动作进行编码，“右移”对应000，“左移”对应111。将分隔符“—”编码成111。这样整条规则都可以编成0/1序列了。编码出来的规则1是这个样子：
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111000111000111001111100111000111
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其他规则也可以依此编为0/1码。将所有规则的编码连到一起，形成一个长串，就是图灵机M的编码。为了让U模拟M处理I, U最初的带子上既包含I也包含M的编码。U的每一步在带子的输入部分读取I的当前符号，并从带子的M部分读取相应的规则，应用于输入部分；这样就能模拟跟踪M在处理给定输入时的状态和输出。
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如果M到达停机状态，U也会停机，并且带子上产生的输出会与M处理给定输入I时产生的输出一样。因此我们说“U在I上运行M”。这里没有讨论U本身的状态和规则，因为比较复杂，但是这种图灵机是肯定可以设计出来的。事实上，现在的可编程计算机正是这样一台通用图灵机：它读取存储的程序，并在存储的输入I上运行这个程序。在图灵证明了存在通用图灵机之后十来年，第一台可编程的计算机就被建造出来了。
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