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中国科学技术史稿（修订版） [:1701078154]
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五 数学体系的形成
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《九章算术》的出现
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在春秋战国数学发展的基础上，秦汉时期出现了我国古代最早的一批数学专著，如《许商算术》（26卷）、《杜忠算术》（16卷）和《九章算术》等。前二部书早已失传，《九章算术》一直流传至今，是我国现有传本的古算书中最古老的数学著作。《九章算术》对后世历代数学的发展影响很大。它的出现，标志着我国古代以算筹为计算工具、具有自己独特风格的数学体系的形成。
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经过春秋战国到西汉中期数百年间政治、经济和文化的发展，《九章算术》比较系统地总结和概括了这段时期人们在社会实践中积累的数学成果。这一时期的社会变革和生产发展，给数学提出了不少急需解决的测量和计算的问题：实行按田亩多寡“履亩而税”的政策，就需要测量和计算各种形状的土地面积；合理地摊派税收就需要进行各种按比例分配和摊派的计算；大规模的水利工程、土木工程需要计算各种形状的体积以及如何合理地使用人力、物力；商业、贸易的发展，需要解决各种按比例核算等问题；愈加准确的天文历法工作，就愈是需要提高计算的精确程度，等等。《九章算术》正是由各类问题中，选出了246个例题，按解题的方法和应用的范围分为九大类，每一大类作为一章，纂集而成的。它所提供的数学解法，当然为生产和科学技术的进一步发展，以及为封建政府计算赋税、摊派徭役等，提供了方便。
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《九章算术》不是一时一人之作，而是经由很多人的修改和补充，才逐渐发展完备起来的。据《周礼》记载，授与贵族子弟的六门课程中有“九数”一项，所谓“九数”指的是数学分为九个细目。三国时代的刘徽曾为《九章算术》作过有名的注释工作，他在注《九章算术》的序言中说：“九数之流则九章是矣。”刘徽生活的时代，距《九章算术》成书的时代较近，他的话应是可信的，即战国时期的“九数”乃是《九章算术》的滥觞。刘徽还说：“汉北平侯张苍，大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。故校其目与古或异，而所论者多近语也。”这也说明在张苍（？—公元前152年）之前已有“旧文”，经张苍、耿寿昌（约公元前1世纪中叶）“各称删补”，只是名目有所不同。从流传至今的《九章算术》的内容看，它完全没有两汉之际谶纬之学盛行以后数字神秘主义的痕迹，所以虽“多近语”，其基本内容至迟应在耿寿昌时已大体定型。于是，它既包含有人们早已解决了的数学问题，也有西汉中期人们新获得的数学成就。
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《九章算术》的内容简介
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该书的体例，有时是举出一个或几个问题之后，叙述解决这类问题的解法；有时则是首先叙述一种解法之后，再举出一些例题。不论哪一种，都是符合人们认识事物的理论联系实际和由个别到一般或由一般到个别的认识规律的。它的内容可分章简介如下。
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第一章 方田（共38个问题），是关于田亩面积的计算，包括正方形、矩形、三角形、梯形、圆形、环形、弓形、截球体的表面积的计算（后两者的公式为近似公式）。在这一章中，还有关于分数的系统叙述，并给出约分、通分、四则运算、求最大公约数等运算法则。
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第二章 粟米（共46个问题），讲的是比例问题，特别是按比例互相交换各种谷物的问题。
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第三章 衰分（共20个问题），是依等级分配物资或按等级摊派税收的比例配分问题。
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第四章 少广（共24个问题），是由已知面积和体积，反求一边之长，讲的是开平方和开立方的方法。值得指出的是，用算筹列出几层来进行开平方和开立方的运算，相当于列出一个二次或三次的数字方程，把筹算的位置制发展到新的阶段，即用上下不同的各层表示一个方程的各次项的系数。在此基础上，后来逐渐发展成为具有世界意义的数字高次方程的解法。
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第五章 商功（共28个问題），是有关各种工程（城、垣、沟、堑、渠、仓、窖、窑等等），即关于各种体积的计算；还有按季节不同，劳力情况不同，土质不同来计算巨大的工程所需土方和人工安排的问题，等等。
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第六章 均输（共28个问题），是计算如何按人口多少（按正比例）、物价高低、路途远近（按反比例）等条件，合理摊派税收和派出民工等问题；还包括复比例、连比例等比较复杂的比例配分问題。
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第七章 盈不足（共20个问题），其中人多数是对如下一类题目的求解方法：“有若干人共买东西，每人出八就多三，每人出七就少四，问人数和物价各多少？”因为这类问题一般都有两次假设，所以在其他国家的一些中世纪数学著作中称之为“双设法”，这种方法可用来解决各种问题。
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第八章 方程（共18个问题），都是一次联立方程问题（包括有二至六个未知数），解法和现在一般中学代数学课本中的“加减消元法”基本相同。当时，是用算筹摆出方程的各系数。一个方程摆一个竖行，方程组中有几个方程就摆出几行，这也可说是筹算位置制的又一新发展。特别值得指出的是，本章还引入了负数（用红算筹表示正数，黑算筹表示负数；或者以正摆的算筹表示正数，斜摆的算筹表示负数），并且给出了正负数的加减运算法则。
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第九章 勾股（共24个问题），按刘徽的注文解释，本章内容大都是利用勾股定理测量计算“高、深、广、远”的问题。它表明当时测量数学的发达以及测绘地图的水平已达到相当的高度。
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《九章算术》的意义及其影响
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总之，《九章算术》的内容包括了现代小学算术的大部分和中学数学的一部分内容，即包括了初等数学中算术、代数以及几何的相当大部分的内容，有着辉煌的成就，而且它形成了有自己特点的完整体系。这些特点就是：它重视理论，但不是那种严重脱离实际的理论，而在实际的计算方面具有很高的水平，有着一整套在当时世界上堪称是十分先进的筹算算法，用算筹的不同位置和不同摆法，不仅可以表示任意大的数目，而且可以表示一个方程的各次项系数或是表示一个方程组中各方程的系数，进一步又可以表示正数和负数；在数学命题的叙述方法上，也是从实际的问题出发，而不是从抽象的定义和公理出发。这些特点，使得中国数学在许多重要方面，特別是在解决实际的计算问题方面，远远胜过古希腊的数学体系。当然只要人们读一读欧几里得《几何原本》（它的基本思想仍然构成了今日中学几何学的一部分内容），就可以了解到古希腊数学体系确实具有较高的抽象性和力求严谨的逻辑上的系统性。毫无疑问，它也是人类知识宝库中不可多得的珍宝。但也应指出：中国古代数学体系所显示出来的在十进位值制解决实际问題以及在计算技术等方面的显著优点，正是古希腊数学的欠缺之处。后来，正是中国古代数学的这些内容经过印度和中世纪伊斯兰国家而辗转传入欧洲，对文艺复兴前后世界数学的发展，作出了应有的贡献。
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就是在中国，《九章算术》对后世也产生了巨大的影响，它一直是人们学习数学的主要教科书。16世纪以前的中国数学著作，从成书方式来看，大都沿袭《九章算术》的体例。从实际问题出发，提供数学解决方法的传统承继不断。后世许多著名的数学家都曾对《九章算术》进行注释工作，并在这些注释工作中不断引入了新的数学概念和方法，从而推动中国古代数学不断前进。
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《九章算术》是举世公认的古典数学名著之一，在世界数学史上占有重要的地位。其中关于分数概念及其运算、比例问题的计算、负数概念的引入和正负数的加减运算法则等等，都比印度早八百年左右，比欧洲国家则早千余年。关于联立一次方程组的解法，在印度最早的记载见于12世纪的巴斯喀拉（Bhaskara），而欧洲则要迟至16世纪才出现正式记载。盈不足术传入阿拉伯国家，被称做“契丹算法”（即中国算法），受到阿拉伯数学家的高度重视。《九章算术》在隋唐时期就曾流传到朝鲜和日本，并被定为教科书，其影响是可想而知的。
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六 地图测绘技术与疆域地理志
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马王堆出土的地图
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1973年，长沙马王堆三号汉墓出土了三幅绘在帛上的地图，它们是地形图、驻军图和城邑图。从图中地名和地图出于汉文帝十二年（公元前168年）的墓葬来看，可以断定它们是西汉初年测绘的，距今已有两千一百多年。
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战国时期地图的绘制已达到较高的水平。当时的军事地图内容包括有“辕之险，滥车之水，名山、通谷、经川、陵陆、丘阜之所在，苴草、林木、蒲苇之所茂，道里之远近，城郭之大小，名邑、废邑、困殖之地”【27】，由此可知地图已有方位、距离和比例尺的制定。刘邦初入咸阳，萧何即收秦律令图书，刘邦因而得以“具知天下阨塞，户口多少，强弱之处”【28】。这些记载生动地描述了战国历秦地图发展的盛况。出土的三幅汉初地图，是当时大量地图的幸存者，它们是战国以来地图测绘技术发展的产物，其内容毋庸置疑地证实了文献记载的可靠性；更为可贵的是，它们提供了汉初地图测绘的精度、测绘技术和当时地图的形制等问题的珍贵的实物资料。