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中国科学技术史稿（修订版） [:1701078195]
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七 数学的辉煌成就
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在宋元时期科学技术的各学科中，数学的发展较为突出。在一定意义上也可以说，宋元数学，在中国古代以算筹为主要计算工具的传统数学的发展过程中，是一个登峰造极的新阶段，在许多方面都取得了极其辉煌的成就。这些成就远远地超过了同时代的欧洲，其中高次方程的数值解法要比西方早800年，多元高次方程组解法和一次同余式的解法要早五百余年，高次有限差分法要早四百余年。宋元数学，不仅是中国数学史，同时也是世界中世纪数学史上最光辉的一页。
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秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰——宋元数学四大家
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13世纪中叶到14世纪初，陆续出现的秦、李、杨、朱四大数学家，是宋元数学的杰出代表，他们的数学著作大都流传至今。
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关于四大家的生平事迹，简要介绍如下。
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秦九韶（1202—1261），字道古，生于四川，他对天文、数学、音律、营造等项无不精究，性机巧且治学十分严谨。他的数学名著《数书九章》，是在对数学的长期不断研究和积累之后，于1247年写成的。全书共18卷，分大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅、市易等九大类，每类用9个例题来阐明各种算法。书中突出的成就是高次方程的数值解法——“大衍求一术”（一次联立同余式解法）。对数学的看法，秦九韶以为它“大则可以通神明，顺性命；小则可以经世务，类万物”，但在进行多年探求“粗若有得”之后，却不得不承认“所谓通神明，顺性命，固肤末于见，若其小者窃尝设为问答，以拟于用”【44】，亦即实践证明数学只能是起到“经世务，类万物”的“小者”的作用。这实际上是对象数神秘主义的一种否定。
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李冶（1192—1279），原名李治，号敬斋，河北真定人，是我国北方金元之际的有名学者。元世祖忽必烈多次召见他，他都辞官不受，长期过着隐居讲学的生活。他的数学著作有《测圆海镜》（1248年写成）和《益古演段》（1259年写成）。《测圆海镜》共12卷，收有170个问题，都是已知直角三角形中各线段进而求内切圆和傍切圆的直径等问题。《测圆海镜》是现在流传下来的最早一部讲述“天元术”的著作。《益古演段》是为初学天元术的人而写的一部入门著作，共3卷，收入64个问题。在《测圆海镜》序中李冶认为：“谓数为难穷，斯可；谓数为不可穷，斯不可。何则，彼冥冥之中，固有昭昭者存。夫昭昭者，其自然之数也。非自然之数，其自然之理也。”他认为“自然之数”正是“自然之理”的反映，因此它们是“可穷”，即可以探求明白的，而不是“不可穷”的。在《益古演段》序言中，李冶还对轻视数学，认为数学是“九九贱技”的思想进行了批判。
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杨辉（约13世纪中叶时人），字谦光，杭州人，著有《详解九章算法》12卷（1261年写成，现存残缺）、《日用算法》2卷（1262年写成，现存残缺）和《杨辉算法》7卷（1274—1275年写成）。在他的著作中，收录了不少现已失传的各种数学著作中的算题和算法，如早期的“增乘开方法”和“开方作法本源”（详见下小节），都是通过杨辉的著作才得以流传下来的。在杨辉的著作中，还有关于改革筹算的一些乘除简捷算法，并著录有适用于当时民间数学教育情况的课程表，体现出当时数学发展的新趋势。
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朱世杰（约13世纪末14世纪初时人），字汉卿，号松庭，河北人。莫若为《四元玉鉴》所写的序文中写道“燕山松庭朱先生以数学名家周游湖海二十余年矣。四方之来学者日众”，祖颐的序文中有“周流四方，复游广陵（今扬州），踵门而学者云集”，从而可见他生平是以数学研究和数学教育为其职业的。他的数学著作《算学启蒙》（3卷，20门，259问，写成于1299年）是一部较好的启蒙算书，内容从乘除法运算直到开方、天元术，体系完整，深入浅出。另一部著作《四元玉鉴》（3卷，24门，288问，写成于1303年），主要是讲述多元高次方程组解法和高阶等差级数等方面的问题。清代罗士琳说“汉卿（朱世杰）在宋元间，与秦道古（秦九韶）、李仁卿（李冶）可称鼎足而三。道古正负开方，仁卿天元如积，皆足上下千古，汉卿又兼包众有，充类尽量，神而明之，尤超越乎秦、李两家之上”【45】，如此评价是很有道理的。西方的科学史家也认为朱世杰是“他所生存时代的，同时也是贯穿古今的一位最杰出的数学家”【46】，他的《四元玉鉴》则是“中国数学著作中的最重要的一部，同时也是中世纪最杰出的数学著作之一”。
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高次方程的数值解法
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我国古代数学家把解方程式的步骤称为“开方”。宋元时期，“开方法”又向前迈进了巨大的一步。
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11世纪中，贾宪在《黄帝九章算法细草》【47】中首先展示出“开方作法本源图”，不仅列出各高次方展开式各项系数，并指出求这些系数的方法。朱世杰《四元玉鉴》中，所称“古法七乘方图”，更推广至八次方。这两幅图的出现，表示在宋元时期，中国人已经掌握了高次幂的开方法。这种图是贾宪首创，理应称为“贾宪三角”。在欧洲一直到阿皮纳斯（德，Apianus）和巴斯加（法，Pascal，1623—1672）才得出这个表，并被西方数学家称为“巴斯加三角”。
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图7－10 古法七乘方图
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贾宪求“开方作法本源图”中各项系数的方法，就是贾宪在开平方、开立方中所用的新法，即随乘随加的“增乘开方法”。用这种“增乘开方法”，可求得任意高次展开式系数，也可用这方法进行任意高次幂的开方，这是一项杰出的创造。
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推广“增乘开方法”使其成为求解高次方程的普遍解法并不困难，需要打破首项系数为“正一”的条件限制。首先突破这一限制的是刘益，杨辉说：“中山刘先生（刘益），作《议古根源》……引用带从开方正负损益之法（系数不拘正负），前古之所未闻也。”【48】
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“增乘开方法”经过贾宪、刘益的努力而逐步发展。一百年后，秦九韶的《数书九章》把增乘开方法推广成为任意高次方程的数值解法。书中有二次方程、三次方程、四次方程共25题，还有十次方程1题。在这许多问题中，系数有正有负，有整数也有小数，发展到这一步，“增乘开方法”就成为各种方程都适用的一种数值解法了。
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秦九韶在解题当中，其算法的特点还是随乘随加的方法进行的减根变换，这和现代求数学方程正根的方法基本上一致。这种现代算法是在秦九韶之后五百多年，意大利人鲁斐尼（Ruffini，1765—1822）在1804年和英国人霍纳（Horner，1786—1837）在1819年提出的，这也就是为人们所熟知的鲁斐尼－霍纳方法，其实理应改称“秦九韶方法”。
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天元术和四元术
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用求解方程的方法来解决实际问题，一般说来都需要两个步骤。首先要根据问题来设未知数，再按题给条件列出一个含有未知数的方程，这就是所谓的“造术”。天元术正是为解决列方程问题的一项突出成就。在金元之际，特别是在当时的北方，出现了一批有关天元术的著作，可惜都亡佚了，但在《测圆海镜》、《益古演段》、《算学启蒙》、《四元玉鉴》中都有着关于天元术的详细记载；特别是《四元玉鉴》还把天元术推广为四元术——多元高次方程组的解法。
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图7－11 天元术筹式一例
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天元术中“立天元一为某某”正是“设X为某某”的意思。在表示方法上，天元术是在一次项旁边写上“元”字，或在常数项旁边写上“太”字，为了简便起见，往往只记一字，或记“元”或记“太”，元字每上一层增加一次幂，太字每下一层即负幂指数增加一次，负的系数则加一捺。如右列的筹式即表示方程：x2－5x＋6＝0。“天元术”和目前代数学列方程的方法是一样的，只是符号和排列方式不同罢了。
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天元术的出现，解决了一元高次方程式列方程的问题，我国数学家很快便将其扩充到多元高次方程组，这是继天元术之后又一项杰出的创造。