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中国科学技术史稿（修订版） [:1701078212]
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七 商业数学与珠算
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商业数学的发展
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明代的商品经济，比它以前任何一个朝代都发达。由于商业的空前发展，商业数学随之得到发展，与商业有关的应用问题在数学著作中有了较多的出现。这和15世纪欧洲商业数学发展的情况颇为相似。
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景泰元年（1450年），吴敬《九章算法比类大全》这部杰出数学著作的完成，是明代商业数学取得进展的标志。
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吴敬，字信民，浙江仁和（今杭州）人，他对浙江经济发展，如田亩、粮税和人口等的增长情况非常熟悉，当时负责财政的官员常请他协助工作，这有助于他对数学应用问题的搜集和研究。
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《九章算法比类大全》是吴敬“积二十年”之功才完成的一部数学著作，全书分10卷。在卷1之前又有“乘除开方起例”1卷，它用一定篇幅论及大数、小数、度量衡的单位、乘除算法、整数四则运算和分数四则运算等问题，并给出194个应用问题的解法。第1—9卷是按方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈朒、方程和勾股九类分卷，各卷内容都是对该类应用问题的解法。全书共计解出1329个应用题，因此本书也可以说是一千多个应用问题的解法汇编。各类应用问题，有的是摘自古算术书（如杨辉的《详解九章算法》等）的“古问”；还有结合当时社会情况的应用问题，也称为“比类”；还有一部分应用问题是用诗词形式提问。最后一卷专论开方，包括开平方、开立方、开高次幂、开带从平方和开带从立方。
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在吴敬收集的许多应用问题中，有不少是与商业有关的新课题，如计算利息、合伙经营、就物抽分（是以货物作价抵补运费或加工费等的计算方法）等，这些都是商业经济的发展在数学研究中的反映。这一趋势的不断发展，导致珠算术的发展。
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珠算的广泛应用
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我国数学的计算方法，随着商业的发展和算法本身由繁到简发展条件的成熟，到了明代，珠算术普遍得到推广，逐渐取代了筹算。
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珠算术是用珠算盘演算，比筹算术用算筹演算方便得多，因此，在商业发展需要的条件下，珠算盘作为数学计算的一种简便工具，很受人们的重视和欢迎。
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珠算术至迟在元末已经产生。1366年在陶宗仪所著《南村辍耕录》中，有关于珠算盘的明确记载。书中卷29讲到一条俗谚，这条俗谚用“擂盘珠”和“算盘珠”打比喻时指出，“擂盘珠……不拨自动”，“算盘珠……拨之则动”。既然算盘珠不像擂盘珠那样可以自由转动，那么算盘珠必是被串起来，拨弄它时只能按一定方向移动。陶宗仪原籍浙江黄岩，常在江苏松江居住，他所说的俗谚，当是松江一带的情况。又《元曲选》“庞居士误放来生债”一折中有“去那算盘里拨了我的岁数”一句唱词，可见，那时珠算盘已是一件比较常见的工具，已被反映到文艺作品中去了。
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珠算盘发明之后，珠算术的四则方法逐渐代替了筹算的加减乘除运算方法。珠算术的加、减法口诀相当重要。在明代的珠算术中称加法口诀为“上法诀”，如“一，上一；一，下五除四；一，退九进一十”等等;称减法口诀为“退法诀”，即“一，退一；一，退十还九；一，上四退五”等等；很是简便。而宋、元的筹算书中却不记录加减法口诀。乘法和除法口诀，即九九口诀和九归口诀，则珠算与元代的筹算术完全相同。但元代的筹算术没有一归口诀，因为在筹算术中，除数的第一位数码是一的，一般是用“减法代除”。明代珠算术中才有一归口诀，即“见一无除作九一，起一下还一”。
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明代的珠算术著作，现在流传下来的已经不多，其中比较重要而影响又较大的是程大位所著《算法统宗》。程大位（1533年生），字汝思，号宾渠，安徽休宁人。他少年时代就很喜爱数学，后来一面经商，一面从事数学研究。1592年程大位写成《算法统宗》17卷，这是一部流传极广的数学著作。明清两代不断翻刻、改编此书，“风行宇内”，凡学习计算的人，“莫不家藏一编”，影响之大，在中国数学史上是少有的。
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图8－12 《算法统宗》中的算盘
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《算法统宗》在体例和内容上与《九章算法比类大全》有不少共同的地方，例如对于大数、小数、度量衡单位和数学词汇的解释，应用问题按九章章名分类，部分题目用诗词形式表达等都基本相同。而《算法统宗》的特点和它的贡献在于以下几点。第一，全书595个应用题的数字计算，都不用筹算方法，而是用珠算盘演算的。第二，最早使用珠算方法开平方和开立方。第三，记有他自己创制的测量田地用的“丈量步车”并绘有图。这种“丈量步车”是用竹篾做的，可以卷绳，就像现在测量用的卷尺。第四，附录北宋元丰七年（1084年）以来的刻本数学著作51种，可惜现在仅存15种了。当然书中难免也有某些缺点，不过总的来看，它还是一部比较完备的应用算术书。明末李之藻编译《同文算指》时，发现西方著作有不足之处，就从程大位的《算法统宗》中摘录了不少应用问题补充进去。
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我国珠算术还曾传到日本、朝鲜等东亚各国，并被延续使用到今日。在我国，直至现在珠算也仍然是被广泛使用和较为方便的计算工具。
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图8－13 《算法统宗》中的丈量步车图
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中国科学技术史稿（修订版） [:1701078213]
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八 声学知识的新发展
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十二平均律的发明
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音律学在我国历代都受到极大重视。二十四史“律历志”中的“律”或“音乐志”，是为历代音律学知识的记录，它为音律学的发展留下了宝贵史料。
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在公元前约一千年的西周初期，已经有十二律和七声音阶的认识了。十二律一般地说，就是十二个半音。它们的名称是：黄钟、大吕、太簇、夹钟、姑洗、仲吕、蕤宾、林钟、夷则、南吕、无射和应钟。但严格地说，十二个半音中的六个单数的半音，即黄钟、太簇、姑洗等，称为“六律”，其余六个双数的半音称为“六吕”，因此十二个半音也统称为“律吕”。七个音阶是：宫、商、角、徵、羽、变宫和变徵。七声音阶出现之后，五声音阶（宫、商、角、徵、羽）仍然使用。如果以黄钟为调首（宫），七声音阶在十二律间的位置如下：
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