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中国科学技术史稿（修订版） [:1701078231]
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三 各种自然科学知识的传入
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著名数学家李善兰和近代数学知识的传入
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中国古代数学，正如本书以前各章所述，曾经取得过不少杰出成果。到了近代，西方数学由于对数、解析几何学和微积分的产生，中国数学已显得落后许多。但是在中国近代，仍然有一些数学家取得了某些成果。这些成果虽然比西方先进的数学水平低得多，时间也晚得多，但这些成果却大都是他们自己独立地取得的。在这些数学家中，较著名的有项名达（1789—1850）、戴煦（1805—1860）、李善兰（1811—1882）等人。
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项名达著有数学著作多种，比较著名的是《象数一原》。项名达曾对三角函数的幂级数展开式（应用明安图和董祐诚所开创的“连比例”方法）方面深有研究，但《象数一原》却因他病老未能完成，此书是由戴煦补写完成的。项名达和戴煦的研究工作，改进了董祜诚（1791—1823）的结果，并且得出了两个计算正弦值和正矢值的公式。项名达还著有《椭圆求周术》，附刊于《象数一原》之后，他求得了关于椭圆周长的正确公式。
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项名达死后，戴煦曾为这部《椭圆求周术》补了《图解》（1857年），他用求n分之一分弧之长，之后逐渐令n无限增大的方法来证明椭圆周长的公式。显而易见这是同样受到了明安图、董祐诚工作的影响的。
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戴煦除了续成项名达的《象数一原》之外，对于对数，特别是通过幂级数展开式的方法探求编造对数表方面，也取得很好的结果。戴煦的这些成果，发表在他所写的《对数简法》、《续对数简法》、《外切密率》、《假数测圆》之中，这四部书后来合刊为《求表捷法》。戴煦的成果中，包括著名的二项定理展开式和对数函数的幂级数展开式。这两个公式虽然早在17世纪就已经被西方数学家得出，但戴煦的结果却是他独立的研究所得。戴煦还曾得出了一些三角函数的幂级数展开式。
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这一时期最著名的数学家是李善兰。李善兰，字壬叔，号秋纫，浙江海宁人。从小喜爱数学，“方年十龄，读书家塾，架上有古九章，窃取阅之，以为可不学而能，从此遂好算”，“三十后，所造渐深”。【56】1852年到上海参加西方数学、天文学等科学著作的翻译工作，8年间译书八十多卷。1860年以后在徐有壬、曾国藩手下充任幕僚。1868年到北京任同文馆天文学算馆总教习，直至病故。李善兰的数学研究成果集中地体现在他自己编辑刊刻的《则古昔斋算学》之中，里面包括有他的数学著作13种。其中《方圆阐幽》、《弧矢启秘》、《对数探源》3种，是关于幂级数展开式方面的研究。李善兰创造了一种“尖锥术”，即用尖锥的面积来表示xn，用求诸尖锥之和的方法来解决各种数学问题。虽然他在创造“尖锥术”的时候还没有接触微积分，但他已经实际上得出了有关定积分公式。李善兰还曾把“尖锥术”用于对数函数的幂级数展开。
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图10－1 李善兰像
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李善兰上述的工作说明，即使没有西方传入的微积分，中国数学也将会通过自己特殊的途径，运用独特的思想方式达到微积分，从而完成由初等数学到高等数学的转变。实际上在西方，牛顿和莱布尼茨也是通过各自不同的途径，几乎同时达到微积分的思想的。
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《垛积比类》则是李善兰的另一部独具特色的著作，它的内容是高阶等差级数求和方面的问题。李善兰的工作把由宋代沈括开始，元末朱世杰已经作出很好结果的“垛积问题”——高阶等差级数求和问题，发展推广到几个方面。李善兰利用了和“开方作法本源图”相类似的数表，列出一系列的高阶等差级数求和的公式。遗憾的是《垛积比类》的记述过于简单，一般只列出了一个个的等式，缺乏严格的证明。因此从20世纪30年代开始，有个别的数学家开始用现代的方法来证明这些等式。这就是国际数学界感兴趣的“李善兰恒等式”问题。
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李善兰在数论方面还证明了著名的费尔玛定理。这一结果发表在《考数根法》（数根即指素数，考数根法即判定素数的方法）之中，这是他在北京同文馆时期作出的工作。
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对于戴煦、李善兰等人的数学研究工作，当时在中国进行科技书籍翻译出版工作的伟烈亚力评价说：“……微分积分为中土算书所未有，然观当代天算家如董方立氏（即董祐诚）、项梅侣氏（项名达）、徐君青氏（徐有壬）、戴鄂士氏（戴煦）、顾尚之氏（顾观光）及李君秋纫（李善兰）所著各书，其理有甚近微分者……”【57】有的人对戴煦的工作“大叹服，转译之，寄入彼国算学工会中”【58】。这大概是中国近代数学家的工作被介绍到国外的最早的记载。这些数学家的研究成果虽然水平已远不如当时西方数学家，但是在已远远落后的中国科学各学科之中，数学，相对讲来还算是有些成绩的。
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鸦片战争之后的中国近代数学的另一个方面，也可以说主要的方面，乃是进一步介绍西方先进的数学知识来中国。
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图10－2 《代微积拾级》书影
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从19世纪50年代开始，李善兰与伟烈亚力合作所翻译的《几何原本》后9卷、《代数学》【59】、《代微积拾级》【60】等书，使明末清初传入我国前6卷的古希腊数学名著《几何原本》有了较为完整的中文译文，并且使西方近代的符号代数学以及解析几何和微积分第一次传入我国。
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李善兰翻译这些书籍是花费了很多心血的。在其译《几何原本》时，因原英译本“校勘未精，语讹字误，毫釐千里所失非轻”，李善兰“删芜正讹，反复详审，使其无有疵病”，作出了很多贡献。另两本书的内容也都是中国过去所没有的。
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李善兰还创造了不少的数学名词和术语，例如“代数”、“微分”、“积分”等等都一直被沿用到今天，而且也传到日本被沿用到现在。他还直接引用了西方的不少数学符号，例如＝、＋、（）、＞、＜等。但是仍未采用世界通用的阿拉伯数码而是用了一、二、三、四……○，并用传统的天干（甲、乙、丙……）地支（子、丑、寅……）外加天地人物4个字来表示26个英文字母，用“微”的偏旁“彳”来表示微分，用“禾”字表示积分。总之，这些译文和今天通用的数学符号还相差较远。
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在李善兰之后，到了19世纪60年代末，江南制造局设立翻译馆，又出版了一批数学书籍。另一位数学家华蘅芳为这批书籍的翻译出版作出了贡献。
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华蘅芳字若汀，江苏金匮（今无锡）人。他和英国人傅兰雅等合作翻译了：《代数术》（1872年）、《三角数理》（1878年）、《微积溯源》（1874年）、《代数难题解法》（1879年），《决疑数学》（1880年）、《合数术》（1887年）等。【61】其中《合数术》是关于对数表造法，《决疑数学》则介绍了新的数学分支概率论。华蘅芳所译各书，内容比李善兰等人所译丰富，译文也通畅易懂，影响比较大。
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这时，出国留学专攻数学的人也逐渐多了起来，到了五四运动前后，中国数学家已经在现代数学研究的一些方面开始作出成绩。
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近代物理学知识的传入
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