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走进殿堂的中国古代科技史（上） [:1701094412]
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第二讲 《九章算术》、刘徽与宋元数学
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一、《九章算术》——中国传统数学框架的确立
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《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，它的影响几乎贯穿了中国传统数学的始终。
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（一）《九章算术》的体例与编纂
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1．《九章算术》的体例
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《九章算术》分为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股凡9章，其书影如图2.1所示。《九章算术》到底是怎样一部书？学术界的看法不尽一致。有人说《九章算术》是一部应用问题集。但是这会引起许多误解，并且成为中国古代数学没有理论的根据。比如，许多没有读过《九章算术》或者读过而不求甚解的人便由这种看法想当然地认为《九章算术》都是一题、一答、一术，而且“术”都是应用问题的具体解法。这根本不符合《九章算术》的实际情况。实际上，《九章算术》的题、答、术的关系相当复杂，大体说来有以下几种情形：
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1）算法统率例题的形式
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这种情形往往是一术多题或一术一题。这里又有不同的情形：
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（1）给出一个或几个例题，然后给出一条或几条抽象性术文，而例题中只有题目、答案，没有具体演算的术文。以方田章合分术及其例题为例：
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今有三分之一，五分之二。问：合之得几何？
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答曰：十五分之十一。
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又有……
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又有……
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合分术曰：母互乘子，并以为实。母相乘为法。实如法而一。不满法者，以法命之。其母同者，直相从之。
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显然，三道例题都只有题和答，没有各自的术；合分术是这3个例题的总术，而不是哪个例题特有的。《九章算术》的整个方田章，粟米章的2条经率术、其率术、反其率术，少广章的开方诸术，商功章除堑等术、当童等术之外的内容，均输章的均输诸术，盈不足章的盈不足诸术，勾股章的勾股术、勾股容方、勾股容圆、以及测邑5术等，都属于这类情形，共有73术，106道例题。这种情形在《九章算术》中所占比例最大。
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（2）先给出抽象的术文，再列出几个例题；而例题只有题目、答案，亦没有演算术文。以商功章当童术及其例题为例：
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刍童、曲池、盘池、冥谷皆同术。
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术曰：倍上袤，下袤从之；亦倍下袤，上袤从之；各以其广乘之。并，以高若深乘之，皆六而一。
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今有刍童，下广二丈，袤三丈；上广三丈，袤四丈；高三丈。问：积几何？
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答曰：二万六千五百尺。
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今有曲池……
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以下是关于曲池、盘池、冥谷的例题。城、垣、堤、沟、堑、渠术及其例题亦如是。这里与第（1）种情形的区别是总术在前，例题在后，共2术，10道例题。
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（3）先给出抽象性的总术，再给出若干例题；而例题包含了题目、答案、术文三项。其中的术文是总术的应用。以粟米章今有术及其31个例题为例：
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