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第三讲 欧洲古典数学及近代数学在中国的传播
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中国与印度、阿拉伯地区及东亚和东南亚各国有着悠久的直接交流史，产生于不同文化传统中的数学也进行了交流与互动。
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中、印数学知识和方法的相似性表明，二者间的交流确实在各自的发展中留下了印记：不仅有相同的算法，且含有同样的错误〔1〕。印度历算传入中国的最早记录为唐代，但当时传入的数学知识似乎并没有对中国数学的发展产生质的影响。中国与阿拉伯地区间的数学交流的记载与线索多存在于辽代以后的文献中。辽代以降，阿拉伯天文学及部分数学著作传入中国。部分传入阿拉伯的欧洲古典数学内容很可能也由此进入中国，如欧几里得《原本》的阿拉伯译本曾被带到中国，但并没有译成中文，亦未引起任何的重视。部分中国数学方法，如盈不足术，也传入阿拉伯地区，再传至欧洲，并由此融入近代数学。
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在以汉语作为通用文字的日本、朝鲜、越南等国家，中国数学知识可以直接被接受和传播。有理由相信，秦汉时期，中国的数学知识已传到朝鲜。公元7世纪的文献表明，朝鲜和日本都采纳了中国隋唐时期建立的数学教育制度，用于中国数学教育的主要数学著作也成为日本及朝鲜的官方教育教材。17世纪以后，日本和朝鲜开始出现本土数学家撰写的数学著作，并进一步发展了部分传入的中国数学方法，尤其是代数方法。直至19世纪中叶，中国传统的数学仍在这些国家占主导地位。
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由于缺乏确凿的文献依据，我们很难判断早期数学交流对中国数学究竟产生了何种影响。可以确定的是，在17世纪以前，秦汉时期确立的以《九章算术》为范式的研究方式，从未受到质的挑战。此后，欧洲的数学体系和思维方式传入中国，为中国数学的发展提供了新的方向与选择。
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一、中、西数学在近代直接交流之开端（1600～1644年）
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航海技术的发展使得欧洲与中国的直接交流得以实现。自16世纪末，欧洲古典数学及近代数学开始在中国传播。此时，中国以珠算为主要计算工具的日用计算方法虽然日臻完备，但部分代表传统筹算数学最高成就的方法，如天元术、四元术、增乘开方法、垛积术等，却均已无人理解。大部分传统数学著作，包括《九章算术》几近失传。欧洲数学无论在数学理论还是在数学方法上均较当时的中国数学具有明显的优势，那么，其传播是否会一帆风顺呢？
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（1）中、西数学在近代交流的文化与社会环境：16世纪末，欧洲古典数学及近代数学知识主要由天主教的耶稣会修士引入中国。耶稣会士最大的目标是将中国基督化，为此，他们需要得到士大夫阶层的支持和中国皇帝对他们在中国居住甚至公开传教的允许。传播数学知识只是他们实现该目标的手段之一。这样，他们的数学传播活动便受到其传教政策及他们在中国的地位的影响。同时，天主教禁止教士以传播非神学内容吸引不信教者。传播西方数学的耶稣会士自始至终都受到其他修会，甚至该修会内部传教士的批评。早期参与传播西方数学知识的中国学者多是皈依天主教的士大夫，他们学习和传播西方数学知识的目的亦不单纯。扩大天主教的影响是徐光启传播欧洲科学的动因之一，当然，这并不意味着他要放弃儒家传统。他设想能够借助耶稣会士阐释的入世的天主教教义来补儒易佛，以拯救濒临崩溃的社会秩序。同时，利用传教士引入的欧洲知识解决明王朝面临的迫切问题，如改革历法、水利建设及制造军用火器等等。当时大部分信教的中国人很可能与徐光启有同样的愿望。然而，天主教与儒学传统中的伦理观并不完全相容，当传教士们开始在民间传教并干涉到皈依者祭孔祀祖的程式之时，一部分中国士大夫看清了天主教义中与中国传统伦理相悖之处。由此，引发了第一次大规模反天主教的事件。直至18世纪中叶，天主教伦理与儒家伦理的冲突，以及中国的社会、文化环境一直是影响西方数学在中国的传播方式及过程的重要因素。
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（2）明代末年传入的西方数学知识：1607年，利玛窦与徐光启合作将欧洲数学的经典著作《几何原本》的前六卷译成中文，这标志着欧洲演绎体系的数学系统已传入中国。很可能由于理学的影响，明朝学者对于理论及学术意义上的知识探讨有着浓厚的兴趣，这使得与中国传统数学体系完全不同的《几何原本》很容易地得到了部分学者的认可和赞赏。1613年，李之藻整理其随利玛窦学习的笔算知识，结合中国固有数学著作编成《同文算指》。《同文算指》介绍的计算方式与现代笔算方法非常接近。笔算数学在中国学者中得到一定程度的普及。
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明代官方历法年久失修，在测象定时方面多有不准。钦天监官员没有能力承担改革历法的任务，耶稣会士因而得到参与中国的历法改革的机会，欧洲天文计算方法由此传入，其中最为重要的数学知识为三角学和圆锥曲线知识。此外，明末动荡的局势促使与火炮及实用机械制造等相关计算方法的传入。
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（3）明代末年中、西数学交流的特点：明代末年对数学知识本身有兴趣的学者并不多。接受及积极传播西方数学知识的主要是天主教的皈依者、对实学感兴趣的士大夫、钦天监官员及对各方面知识有兴趣的通儒型学者。出于各自不同的目的，他们对西方知识的取舍、态度及研究深度亦有所不同。传播者和接受者双方的特点决定了西方数学知识传播的特点和内容，也注定了当时的中、西数学不可能进行全面的交流。事实上，传入中国的数学知识体现了参与传播的诸方角色的不同角度的选择与局限，并不能全面地展现当时欧洲数学发展的全貌，甚至不能反映当时欧洲最新的研究成果和研究方法。另一方面，来华传教士对中国固有数学抱有相当轻视的态度，没有证据表明他们曾试图研究中国古代数学典籍。实际上，在17、18世纪，中国传统数学在算法方面仍有领先于欧洲的内容和方法，这些内容并没有传入欧洲。
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二、清代初年西方数学在中国的传播——深入理解与会通
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西方数学在中国王朝更替之际传入中国，虽然这是中国数学史及数学交流史上的一个重要事件，但在当时动荡的局势中，只有少数学者注意甚至参与其事。真正的关于西方数学的研究多出现在50年后清朝政府的统治已日趋稳固之时。
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（1）皇家与西方数学的传播：与明代帝王不同，清初二帝对来华西人均非常友善。1644年8月3日，清廷决定自次年起颁布依西洋历算方法修订的历法。耶稣会士汤若望（Johann Adam Shall von Bell, 1592～1666年）掌握了钦天监的实际领导权。传教士地位的变化严重影响到他们传播科学知识的方式和内容，并进而影响到西方数学在中国的传播及研究。简单地说，参与制订历法的传教士只需掌握一定的欧洲天文历法知识即可，这使得他们传播知识的内容趋于狭窄。为了能够长期占据钦天监的位置，传教士很可能并不想将他们在制订历法时所用到的欧洲知识全部传给中国学者。所以，他们可能在数学普及和会通方面并不积极。清代初年，在传播欧洲数学知识方面贡献最大的是在民间传教的波兰耶稣会士穆尼阁（J.Nicolas Smogolenski, 1611～1656年）。他引入的最重要的数学知识为对数方法，他也传入了一些新的三角公式及对数和三角学结合的公式。
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顺治帝对于汤若望甚为看重，但他似乎并没有向汤若望学习过数学。大约在1671年前后，康熙帝开始向南怀仁（Ferdinand Verbiest, 1623～1688年）学习欧洲数学和天文学。据其自述，掌握西方天文、数学知识以裁决相关问题，为他学习数学的原动力。但他学习西方数学，很可能还有另一个未道出的原因。康熙帝自幼研习儒家经典，他并不满足于做一位帝王，还希望成为学术仲裁人。但儒家学者对包括康熙帝在内的满人的学术水平非常轻视。发生于其登基之初的杨光先历案一方面使得康熙帝痛心于满朝大臣中竟无一人精通数学，但另一方面也使他发现了他能够超越汉人学者和士大夫们的知识领域——天文、数学。除南怀仁外，安多（Antoine Thomas, 1614～1709年）及法国耶稣会士法国白晋（J.Bouvet, 1656～1730年）、张诚（J.-F. Gerbillon, 1654～1707年）、杜德美（Pierre Jartoux, 1668～1720年）、傅圣泽（J.-F. Foucquet, 1665～1741年）等均为康熙帝讲解过数学。
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为了奖励耶稣会士的辛勤工作，康熙帝对天主教也表现出一定程度的宽容。然而这并不意味着他完全认同天主教教义。1704年11月，教皇克莱芒十一世决定禁止中国教徒举行和参加祭祖祀孔等仪式。很可能是意识到了儒家传统与天主教之间不可调和的矛盾及此矛盾可能为其统治带来的严重后果，康熙帝遂作出选择。1721年，他正式宣布禁教，由此造成了西方数学知识传入的中断。放弃传教士的康熙帝一方面以“西学中源”说对其学习和研究西方知识的行为给出合乎儒家传统的解释；另一方面则致力于使中国人在天文、数学等事务上的自立。其结果是《数理精蕴》一书的编撰。
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（2）《数理精蕴》——传入中国的西方数学知识之总结：1713年，康熙帝于畅春园之蒙养斋设立算学馆，并于馆亲自任教。《数理精蕴》为算学馆编辑的百科全书式大型著作《律历渊源》中的一种。该书是对当时所理解的中国传统数学内容及传入的欧洲数学知识的总结。虽然以“西学中源”作为纲纪，并收入了一些传统数学内容及梅文鼎的部分工作成果，但其整体内容基本是按欧洲数学分类法编排的，并以欧洲数学方法重新阐述部分传统数学内容。该书的体例为：先给出算法和几何学的一般性描述，即“明体”，然后再对具体内容进行详细论述，即“分条致用”。全书内容由浅入深，以线性问题、二次问题和高次问题为脉络，以比例算法为联系，构成了一个知识整体。其中最为重要的新知识为代数方法——借根方算法。挟敕编之名的《数理精蕴》在清代流传很广，成为当时数学教育和学习的主要教材和参考书。
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（3）清代初年欧洲数学在中国传播：此阶段欧洲数学在中国的传播主要有两个途径，其一为宫廷中传教士因帝王的要求及钦天监工作的需要而传入部分新的数学知识，其二为民间学者研究和传播明代末年已经从欧洲传入的数学知识。
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明朝遗民出于对明朝灭亡的反思提倡经世之学，并致力于儒家经典的复原。他们一方面普遍关注西方传入的科学技术知识，另一方面严格排斥西方的哲学和宗教。夷夏之辩也促使他们对中、西知识进行一定的比较研究。在这样的学术背景下，产生了黄宗羲、颜元等热心数学教育的著名学者及王锡阐、梅文鼎等天文、数学专家。
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清代初年仍有一些学者随传教士学习西方数学。薛凤祚（1600～1680年）与方中通（1633～1698年）均曾随穆尼阁习算。方中通的《数度衍》（1661年）虽还保留了《九章》篇目，但他以各章中数学内容的内在关系及数学方法为纲组织全书内容，且书中的算法和测量方法均含有解释该方法正确性的论述。这是中国数学家在学习了西方数学之后，试图重新归纳整理传统数学体系的一个尝试。与方中通同时的杜知耕及其稍后的梅文鼎等均以这样的方式会通中、西数学。梅文鼎认为这样的方式可以成为数学著作的“程式”，也即规范。但总体来讲，西方传教士有了在宫廷中的体面位置，一般并不需要像利玛窦等早期来华者那样为了吸引中国学者而使尽浑身解数，而中国学者也因恐被劝入教而不愿主动接近他们。梅文鼎（1633～1721年）便曾如此描述他一方面学习欧洲天文，一方面又对直接师从传教士心存疑虑的两难心情：“窃观欧罗言，度数为专攻。思之废寝食，奥意心神通。……惟恨棲深山，奇书实罕逢。我欲往从之，所学殊难同。讵忍弃儒先，翻然西说攻。或欲暂学历，论交患不忠。立身天地内，谁能异初衷。”梅氏无疑是清代初年最为重要的中国数学家，他承袭利玛窦在《几何原本》序中所介绍的欧洲数学分类法，将数学分为算术与几何两类，并将传统数学的“九章”系统阐释为按照难易程度顺序安排的度与数两类数学知识。但他并不认为可以对传统数学弃之不顾。事实上，他试图将欧洲的几何学构筑在中国传统勾股术的基础上，并对传统方程术推崇备至。虽然他一生都没有机会全面研究包括《九章算术》在内的传统数学著作，但他以会通中、西为己任。其研究与著述涉及当时数学的各个领域。梅文鼎的著作多通俗易读，学习数学的人完全可以利用他的著作自学。所以，他的著作对清代数学知识的传播产生了很大的影响。
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三、乾嘉时期的中国数学——古学复兴与中西数学的互动
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（1）乾嘉学派与数学：活跃于18世纪中叶至19世纪中叶的乾嘉学派以恢复古学及儒家传统为治学目标，其代表人物如惠士奇、江永、戴震、钱大昕、阮元、焦循等，都很重视数学，这主要是由该学派的治学方法决定的。乾嘉学派虽然提倡古学，却又以怀疑的态度看待所有流传下来的经典。严格而确定的数学成为他们经学研究的重要辅助工具。然而，早期乾嘉学派学者虽然重视数学，但他们的数学工作却有着很强的目的性，故他们多数并不致力于深化数学研究。同时，他们对西方数学采取了一种较为开放的态度。18世纪后半叶，一些汉学家对数学的态度已有所变化。钱大昕提出天文、数学均属学术范畴，是儒学中的“小学”，正因如此，他致力于考察中国传统及从西方传入的历算知识的发展过程。18世纪末至19世纪初，阮元组织编写了中国第一部数学史著作《畴人传》。
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（2）乾嘉时期的数学研究：清代中期，中国数学的研究沿两个方向发展。一方面，《四库全书》的编撰使得一批传统数学著作，如《九章算术》、《测圆海镜》等，得以重新被发现并较为广泛的流传，中算家们在校勘古代算经和复原传统算法方面取得了很大成果，并在研究上取得了一些新的进展。另一方面，明末清初传入的西方数学知识得到了深入的理解和进一步发展。此段时间最为活跃的课题为传统数学著作的解读及传统数学方法的复原与发展、借根方与天元术、三角学、三角函数和对数函数的幂级数展开式等。18世纪末至19世纪初，乾嘉时期最为重要的两位数学家汪莱（1768～1813年）与李锐（1769～1817年）分别以传入的借根方代数和传统天元术探讨方程论问题，在高次方程解的个数及其与系数的关系等方面取得了重要成就。另一位重要数学家焦循（1763～1820年）则以符号化的方式重新组织基本数学内容。此两方面的工作均表现出明显的理论化倾向。自19世纪初，多位中国数学家将精力集中于证明和发展由传教士引入的函数幂级数展开式，并取得了相当丰硕的成果。
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（3）乾嘉时期欧洲数学在中国传播的特点：与前两个时期不同的是，乾嘉时期的数学传播表现为在近乎封闭的环境中的知识传播与互动。由于多数数学史家偏重于对当时数学研究成果及恢复校勘古算书方面的工作的整理，这样，很自然地得出了乾嘉时期的数学研究以古学复兴为标志。也有学者认为乾嘉学派的泥古倾向影响了欧洲数学在中国的传播。上述观点当然有其合理性，但却在两个方面有所忽略。其一，乾嘉学派的学者在其治经的过程中并不只用到传统天文数学成果，欧洲天文学从一开始就是他们的重要工具。正因如此，他们几乎都对欧洲历法及与之相关的平面、球面三角学作过研究。另一方面，人们大多忽略了对乾嘉时期数学家研究方法的分析。被视为数学“中学”派代表的李锐总是试图完备、严谨地、一般性地解决他所探讨的数学问题，焦循则发明了符号法，并也像李锐一样坚持一般性的研究方法，虽然他们的证明方法大多来自传统数学，其严谨性的追求也肯定受到考据学及易学治学方法的影响，但同时，这亦都与传入的欧洲数学的方法和特点相符合。而此段时间甚为活跃的关于中西数学优劣的争论则导致了方程论研究的深化，两位主角李锐与汪莱不仅为传统数学方法开辟了新的方向，亦深化了传入的近代数学知识。二人的工作不仅成为中国数学史上的一大亮点，亦是不同文化传统中的数学知识互动的精彩个案。乾嘉时期的中国数学家致力于对传入的数学知识的证明和深化研究，这正是清朝学者在三角学和三角函数展开式方面所进行的主要工作。而徐光启等对中国数学没有体系、没有证明的批评也刺激了乾嘉时期的学者如李锐等对传统数学的各个专题做系统的整理，并为传统算法提供证明。通过这样的工作，中国数学研究从算法研究转化为纯粹的学术研究，其研究方法也从对运算的发展及其应用转向理论性的研究，这无疑使得此后传入的符号代数学和微积分学更易于被接受和理解。李善兰等清末数学家能够如此顺利地完成《代数学》和《代微积拾级》的翻译，亦得益于他们先前的研究基础及清代中叶其他数学家的工作。
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四、19世纪50年代之后的数学交流与中国数学近代化的完成
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