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科学与假设 [:1701104945]
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科学与假设 第五章 经验和几何学
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1．在前文中，我已经花了大量时间力图证明，几何学原理不是实验的事实，尤其是欧几里得的公设不能用实验来证明。
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不管已经给出的理由在我看来是多么具有决定性，我认为还应该强调这一点，因为在这里，虚假的观念在许多人的头脑中是根深蒂固的。
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2．如果我们用材料制作一个圆圈，测量它的半径和周长，并看到这两个长度之比等于π，那么我们想做什么呢？我们想做我们用来制造这个圆形东西的物质的特性的实验，以及用来制造量尺的物质的特性的实验。
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3．几何学和天文学。问题也可以以另一种方式提出。如果罗巴契夫斯基几何学是真实的，那么十分遥远的恒星的视差将是有限的；如果黎曼几何学是真实的，视差将是负的。这些似乎是在实验所及的范围内的结果，可以期望，天文观察能使我们在三种几何学之间做出抉择。
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但是，在天文学中，直线只是意味着光线的路径。
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因此，如果发现了负视差，或者证明了一切视差都大于某一极限，那么两条道路向我们敞开着；我们既可以放弃欧几里得几何学，也可以修正光学定律，假定光严格说来不是以直线传播的。
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不用多说，所有的世界都会认为后一种解决办法比较有利。
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因此，欧几里得几何学一点也不害怕新颖的实验。
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4．某些现象在欧几里得空间是可能的，而在非欧几里得空间则不可能，以致经验在确立这些现象时便与非欧几里得假设直接矛盾，这种见解站得住脚吗？就我的本分而言，我没有思索这样一个能够被提出的问题。按照我的意见，它正好等价于下述问题，其荒谬程度在所有的人看来都是一目了然的：存在着用米和厘米可以表示的长度，但却不能用、英尺和英寸来测量，以致当经验弄清这些长度存在时，它却直接与标度为六英尺的假设相矛盾吗？
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比较仔细地考察一下这个问题吧。我假定，直线在欧几里得空间具有任何两种特性，我将称其为A和B；在非欧几里得空间，它还具有特性A，但不再具有特性B；最后，我假定，在欧几里得空间和非欧几里得空间中，直线只是具有特性A的线。
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果真如此，经验就能够在欧几里得的假设和罗巴契夫斯基的假设之间做出裁决了。结果查明，能用实验检验的一个确定的具体的客体——例如一束光线——具有特性A；我们便可以断定，它是直线，接着我们再研究它是否具有特性B。
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然而，情况并非如此；没有一种特性像特性A那样，能够作为一种绝对标准使我们辨认直线以及区分直线和其他每一种线。
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例如，我们是否可以说：“这样的特性如下：直线是这样一种线，即就是使包含该线的图形能够运动，而该图形各点的相互距离不变，从而这个线上的所有点依然是固定的？”
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事实上，这就是在欧几里得空间或非欧几里得空间中属于直线、且唯一属于直线的特性。但是，我们怎样用实验来弄清它是否属于这个或那个具体对象呢？这就必须测量距离，可是人们怎么会知道，我用材料做成的仪器所测量的任何具体大小实际上表示的是抽象的距离呢？
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我们只不过是把困难向后推了一下而已。
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其实，我刚才说过的特性不仅仅是直线的特性，它是直线和距离二者的特性。为了把它作为绝对标准，我们不仅必须能够确立，除直线和距离之外，它不属于任何线，而且还必须能够确立，它不属于直线之外的线以及不属于距离之外的数量。不过，这是不正确的。
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因此，不可能设想一种能够在欧几里得体系加以诠释、而在罗巴契夫斯基体系不能加以诠释的具体实验，于是我可以得出结论：
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经验在任何时候都不会与欧几里得公设矛盾；另一方面，任何经验永远也不会与罗巴契夫斯基公设矛盾。
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5．但是，欧几里得（或非欧几里得）几何学永远不能直接与实验矛盾，这还是不够的。它能够与经验一致，只是因为违背了充足理由律和空间相对性原理，这种状况不可能发生吗？
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我愿自我说明一下：考虑任何一个物质系统；一方面，我必须注意这个系统各物体的“状态”（例如，它们的温度，它们的电势等等），另一方面，必须注意它们在空间的位置；而且，在能使我们规定这个位置的数据中，我们将把规定这些物体相对位置的相互距离与规定该系统绝对位置和它在空间的绝对取向的条件区别开来。
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在这个系统中将要发生的现象的规律取决于这些物体的状态和它们的相互距离；但是，因为空间的相对性和无源性，它们将不依赖该系统的绝对位置和取向。
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换句话说，物体在任何时刻的状态和它们的相互距离仅取决于这些同样的物体在初始时刻的状态和它们的相互距离，但是完全不依赖该系统的绝对初始位置和绝对初始取向。简而言之，这就是我所命名的相对性定律。
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迄今，我是作为一个欧几里得几何学家讲话。正如我已经说过的，无论什么经验，都容许按照欧几里得假设进行诠释；但是，它同样容许按照非欧几里得假设进行诠释。好了，我们做了一系列实验；我们根据欧几里得假设诠释它们，而且我们认出，这些如此诠释的实验没有违背这个“相对性定律”。