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预见相关性：风险管理新范例 [:1703535708]
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预见相关性：风险管理新范例 3.2 向量GARCH模型
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多种多元GARCH模型已经被提出并且得到了应用。这些模型已经由几个作者进行了考察，包括Bollerslev等人（1994）以及更近的Bauwens等人（2006）、Silvennoinen和Terasvirta（2008）。我们在这里不讨论具体细节，大致了解一下这些模型的基本介绍就足够了。这些模型能用一个包含协方差矩阵中的每个元素的方程来描述。最流行的这类模型称为对角多元GARCH模型或者对角向量GARCH模型，它只利用前一期的收益率i和收益率j的乘积来表示协方差矩阵的第i，j个元素。例如，对角向量GARCH模型的一个一阶形式是
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协方差矩阵的每个元素只是自身过去信息集的一个函数。这个模型明显包含许多参数并且一般不会具有正定的协方差矩阵。然而，如果对参数施加一些约束条件可以确保得到正定的对称协方差矩阵。普遍使用的一套约束条件被称为对角BEKK并且定义为
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一个简单的约束迫使所有的αs和βs相同，然后要求w矩阵是正定的。这通常被称作一阶标量对角多元GARCH模型或者标量MGARCH模型。
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这个模型有（1/2）n（n-1）+2个未知参数，其中有两个参数出现在截距项中。
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另一方面，许多更复杂的模型也可以得到描述。这些模型使协方差矩阵的每个元素成为数据的平方和交互乘积的一个线性函数。下面是Vec模型，其包含基本元素的一阶形式为
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由于它不仅包含i，j个元素而且还包括数据的平方项、交互乘积项以及过去的条件方差，所以模型会出现许多参数。如果没有大量约束条件，它不一定会有正定的协方差矩阵。虽然这个模型太一般化了以致没有什么用，但它还是在不少特殊情况下得到了应用。
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尽管vec模型有非常多的参数，但它仍然线性于数据的平方项和交互乘积项，这当然是一个严格的约束。从理论角度来看，这种方法是便利的，因为它支持多步分析预测，但它未必与协方差矩阵的变化一致。在第3.4节和3.6节中讨论的模型放弃了这种线性关系约束。
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预见相关性：风险管理新范例 [:1703535709]
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预见相关性：风险管理新范例 3.3 向量GARCH模型的矩阵表达式和结果
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这部分内容比前面部分在数学上要更复杂，读者可以忽略而不影响内容的连续性。有兴趣的读者在这里可以发现一个用向量来表示的更详细分析和一些特例。这部分内容主要依据Engle和Kroner（1995）。对这类模型的一个简单描述是，所有的方差和协方差矩阵都取决于数据的所有平方项和交叉乘积项。这里用vec表示法将其进行了概括。vec方法通过将一个矩阵的所有列堆积成一个非常长的向量来把矩阵转换成一个向量。如果A是一个n×n矩阵，那么vec（A）是一个n2×1向量。如果A是对称的，那么会有许多重复项出现在vec（A）中，因为只有大约一半的元素是唯一的。vec模型能写成
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这个模型描述了H的每个元素、过去收益率的平方、交互乘积项以及滞后协方差间的相关性。
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由于这个系统具有线性性质，所以非常易于预测和检查平稳性。如果要计算所有ys的协方差的一个K-步前向（k-steps-ahead）预测值，则只需通过递归方法来求解。如果k>p，q，那么有
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认识到Et（.）=EtEt+k-s（.），两边的等式都使用了迭代期望。
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随着预测范围趋向于无穷大，如果这个过程是协方差平稳的，那么预测值将会变为一个固定方差的协方差矩阵。这种情况取决于差分方程（3-14）的特征值大小。Engle和Kroner（1995）证明了下面的几个定理。