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预见相关性：风险管理新范例 [:1703535709]
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预见相关性：风险管理新范例 3.3 向量GARCH模型的矩阵表达式和结果
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这部分内容比前面部分在数学上要更复杂，读者可以忽略而不影响内容的连续性。有兴趣的读者在这里可以发现一个用向量来表示的更详细分析和一些特例。这部分内容主要依据Engle和Kroner（1995）。对这类模型的一个简单描述是，所有的方差和协方差矩阵都取决于数据的所有平方项和交叉乘积项。这里用vec表示法将其进行了概括。vec方法通过将一个矩阵的所有列堆积成一个非常长的向量来把矩阵转换成一个向量。如果A是一个n×n矩阵，那么vec（A）是一个n2×1向量。如果A是对称的，那么会有许多重复项出现在vec（A）中，因为只有大约一半的元素是唯一的。vec模型能写成
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这个模型描述了H的每个元素、过去收益率的平方、交互乘积项以及滞后协方差间的相关性。
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由于这个系统具有线性性质，所以非常易于预测和检查平稳性。如果要计算所有ys的协方差的一个K-步前向（k-steps-ahead）预测值，则只需通过递归方法来求解。如果k>p，q，那么有
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认识到Et（.）=EtEt+k-s（.），两边的等式都使用了迭代期望。
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随着预测范围趋向于无穷大，如果这个过程是协方差平稳的，那么预测值将会变为一个固定方差的协方差矩阵。这种情况取决于差分方程（3-14）的特征值大小。Engle和Kroner（1995）证明了下面的几个定理。
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【定理3-1】如果一个多元条件协方差矩阵由式（3-1）和式（3-13）定义，且其参数确保协方差是正定的，并且满足
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的解全部位于单位圆外，那么序列{yt}是一个具有无条件方差协方差矩阵的协方差平稳过程。
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证明过程参见Engle和Kroner（1995，p.133）。
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vec模型潜在含有大量不受约束的参数。截距项有n2个参数，其中的近一半参数不受约束，因为它是一个对称矩阵。系数矩阵有n4个参数，由于对称性，其中只有1/4的参数不受约束。因此，模型共有将近n4（p+q+2）/4个参数。一个包含五个资产的（1，1）模型有将近625个参数，而一个包含十个资产的模型将有10000个参数。这种情况明显不易处理。再就是，这个模型不能保证它是正定的。因此，试图对参数多加些约束的想法是很自然的，而最大类的多元GARCH模型正是源于此想法。
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移动平均模型和指数平滑模型都是这个模型在参数约束上的特例。如果模型中p=q=1，A、B是和为1的标量，且截距项是0，那么模型就变成了指数平滑模型。如果模型中p=m，q=0，所有的矩阵A是标量1/m，并且截距项是0，那么我们就得到移动平均模型。通过对这些约束条件的检验可以评估这些简单模型的有效性。
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一类约束少些的模型是对角vec模型。在这个模型中，参数矩阵A和B被假定为对角矩阵。这个约束很自然，它意味着每个协方差都仅仅取决于自身收益率交互乘积的过去值和自身的条件协方差。因此，相关的协方差元素是一些过去交互乘积的加权平均，这里的权重反映了信息衰减的速度。
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模型可以表示为
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这个模型有近n2（p+q+1）/2个参数，但是它没有关于正定性的任何保证。为了设定一些条件来保证对角vec多元GARCH模型是正定的，我们求助于一个由Ding和Engle（2001）使用的定理。
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具有同一维度的两个矩阵的乘法可以定义为元素对元素的乘积，或者Hadamard乘积。用符号“⊙”表示有
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Hadamard乘积有几个有用的特征并且这些特征被归纳在下面的两个引理中，这两个引理来自Ding和Engle（2001）。