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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） [:1703562348]
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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） 波动率的定义
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波动率的标准定义是方差的平方根。方差的定义为：
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其中，xi为对数收益率，x为样本的平均收益率，N为样本数量。为了将方差以年化的形式表示，我们需要将原方差乘以年化因子N，也就是一年的交易周期。例如，当我们使用日频数据时，N就是252，因为这是一年中的交易日数量（至少在美国是如此）。
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如果该历史价格序列包括了股息支付（或者拆股），那么就有必要对价格序列进行调整。由于除息的影响，即使股价没有发生波动，看起来也会有一定的波动。如果不进行调整，那么对波动率的度量就可能会出现若干个百分点的误差。例如，如果由于除息导致股价跌了3%，那么年化后看上去就变动了48%（即）。这样一来，波动就被显著放大了。
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有多种进行调整的方法。第一种方法是在除息日简单地把股息从除息前的股价中减掉。这种方法能够使股价在除息前后日变化的绝对值保持不变。但该方法的缺点是：如果支付股息的次数足够多，量足够大，那么在调整后很有可能会得到负的股价。
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另一种更好的方法是将股价乘上一个不受百分比变化影响的调整因子。这个因子是：
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对除息日前的股价都乘上这个因子，称为向后调整。相应地，也可以进行向前调整。如果进行向前调整，那当前的股价将不同于调整后的股价。
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式（2-1a）并没有对分布做任何假设，仅仅是一个加总。所有有限数量的样本都可以计算方差。然而，为了在期权定价中使用波动率，我们需要假设其收益率的生成过程。正如前文所提及的，BSM模型假设收益率服从正态分布。在这样的情况下，方差就完全刻画了该分布的形状。我们知道这个假设是不正确的，但我们仍希望方差（以及波动率）是刻画收益率分布宽度方面的一个重要参数，甚至是决定性参数。
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在金融领域，将收益率均值（漂移项）和方差区分开是很难的（这在许多关于交易策略和交易结果的讨论中都是核心问题），并且收益率均值的估计也是出了名的不准，特别是在小样本的情况下。因此我们通常把式（2-1a）中的平均收益率项设为0。通过去掉一个噪声源，这会增加度量的准确性：
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为了从样本方差得到总体方差的估计，我们需要做一下转换（Kenny和Keeping，1951）即
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然而，有些专家选择回避这一步，而是直接将样本方差定义为：
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这样定义的方差实际上是总体方差的无偏估计。由于在应用中不同的方差定义容易造成混淆，因此有必要先弄清楚方差是如何定义的。记得查看下其计算公式的分母上有无N-1项。Excel软件中VAR函数就是根据第二种定义来计算的。
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式（2-2）和式（2-3）给出了方差的无偏估计，但直接在方差上开平方所得到的波动率估计却是偏低的。这是由詹森不等式造成的。詹森不等式表明，平方根的均值总是比均值的平方根小，即
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因此，我们需要对这个偏差进行校正。
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如果假设收益率服从正态分布，那么就可以将样本标准差的分布函数看成样本容量的函数，那么该函数便可写成：
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