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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） [:1703562349]
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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） 其他波动率估计量
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第一个是Parkinson（1980）估计量。该估计量的表达式为：
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其中，hi是交易时的最高价，li是最低价。
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和前文一样，若要得到年化值，也需要将这个估计量乘上每年交易周期数的平方根。这种由极差构造波动率估计量的方法是有意义的，也是交易员通常所理解的形式。另外，该估计量似乎能以更快的速度收敛于真实波动率。因为它在每个交易时段都使用了两个价格，而不像收盘价–收盘价估计量那样只用了一个。事实也确实如此，当用人工生成的几何布朗运动来进行检验时，Parkinson估计量的效率要比收盘价–收盘价估计量高出5倍（此处的效率是指收盘价–收盘价估计量的方差与基于极差的估计量的方差的比值）。
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如果价格是连续的，那么Parkinson估计量便是方差的无偏估计（但要记住，当把方差估计转化成波动率估计时，由詹森不等式导致的偏差仍然会存在）。然而价格样本是离散的，这是因为市场只能以离散的交易单位进行交易；更为重要的是，市场只是在一天中的部分时间开放。这就意味着那些没有被观察到的真实价格便不会成为我们估计时所使用的最高价或最低价。因此，基于能观察到的极差来构造的估计量，就会系统性地低估波动率。
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Garman和Klass（1980）模拟了因离散取样所导致的波动率被低估的现象，低估的程度与样本容量的关系参见表2-3。
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表2-3 Parkinson方差的抽样误差
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Parkinson波动率估计量会低估波动率这一事实会令不少人感到吃惊。普遍的错误观点认为，由于交易事实上很少以最高价或者最低价这样的极端价格执行，因此Parkinson估计量会高估波动率。这个论述的前半句是对的，但是这和波动率被高估或者低估无关。Parkinson并没有对交易能否以极端价格执行做出任何说明，他只是认为极差和波动率是相关的。它只是波动率的一个估计而已，并不是对交易的估计。
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估计量的偏差显然是个严重的问题。在使用过程中，就像我们在收盘价–收盘价估计量的例子中那样，我们可以通过将估计量除以调整因子来纠正存在的偏差，以便得到方差的无偏估计，但是这个方法仍然无法解决价格序列中存在开盘跳空的情形。
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某一证券的波动率与其价格极差有关这一直觉是清晰的，这个想法可以扩展到其他与最高价和最低价不同的“极差”。
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另一个知名的波动率估计量是由Garman和Klass提出的，其表达式为：
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其中，ci为交易期内的收盘价。
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这个估计量的收敛效率可以高达收盘价–收盘价估计量的8倍（精确的效率提升幅度取决于样本容量）。但是同样由于离散取样的原因，该方法也会低估实际的波动率，并且它的偏差实际上比Parkinson估计量的还要大，如表2-4所示。
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表2-4 Garman-Klass方差的抽样误差
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资料来源：Garman和Klass，1980。
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一旦我们知道偏差在哪里，就总会有办法去调整它。但更严重的问题是，有研究表明，这些估计量之所以能提高估计效率，是因为它们依赖于一些并不适用于真实市场的假设，尤其价格服从不带漂移项的几何布朗运动以及连续交易的假设。Rogers、Satchell和Yoon（Rogers和Satchell，1991；Rogers、Satchell和Yoon，1994）在一定程度上放宽了这些限制条件，引入带有漂移项的更优的估计量，其表达式为：
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其中，oi为交易期内的收盘价。
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