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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） [:1703562422]
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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） 第13章 杠杆ETF
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最近有许多杠杆ETF上市交易。这些金融工具的目标是放大某个特定参照产品的日收益率。例如，SSO的收益率是标准普尔500日收益率的两倍。招募说明书中会特别标注杠杆比率，这是事先定好的。杠杆比率有3、2、-1、-2和-3倍等几种选择。需要特别注意的是，大多数同类产品的参照收益率都是日收益率（少部分ETF能提供带杠杆的月度收益率）。这会导致一个困惑，许多人都对收益率的复利计算方法有误解。
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这个困惑就产生了一个神话：杠杆ETF会减值到零。
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我们在网络上能发现大量持这种说法的文章，来自elitetrade.com的下列说法表明了它们的典型误解，即使它们比其他说法更有引用价值。
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“从数学上被设计来向零靠拢”和“这些玩具/伎俩都针对那些想很快把钱输光的人”。
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在本章中，我们将证明，这个神话是错误的。这些工具实际上是永续的已实现波动率产品，理解了它们，就可以进行许多与波动率相关的交易。
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可以用一个简单的例子来说明波动率效应。假设有一个交易工具，它在第一天上涨了5%，而在第二天下跌了5%。如果它的初始交易价格为$100，那它的价格序列会是$100、$105和$99.75。即使价格有两个相反方向、比例相等的变化，多头头寸仍会亏钱。用公式来表示就是：
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其中x为日收益率。这被称为波动率拖累（volatility drag），在所有金融工具中都会出现。但随着我们加杠杆后的收益变得越大，这种效应也会变得更大。因此对于一个有参照产品来进行比较的杠杆ETF，这种效应也就越发明显。
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例如，考虑FXI和FXP，这是iShares公司发行的两个ETF。FXI被设计来跟踪新华富时中国25指数，而FXP被设计为该指数收益率的-2倍。表13-1显示了FXI和FXP在2008年10月和11月时的收益率。
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表13-1 FXI和FXP的日收益率
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从表13-1可以看出，FXP在每天复制负的两倍收益率方面表现还不错。不过，在整个时间段里，FXI的总收益率为9.0%，而FXP的收益率为-49.2%。这是由于波动率拖累。
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“将变为零”的神话来自对波动率拖累的影响的误解。该说法认为，波动率拖累是在把ETF的价格朝零拖动。但当杠杆为1倍时，为什么这不会成为一个问题呢？如果杠杆为1倍，是否还可以指责杠杆呢？为了解开这个困惑，我们需要对复利的计算方法了解得更深入一些。本文此处的分析主要基于Zhang（2010）的研究。
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不考虑基金和交易的费用时，我们的杠杆ETF的收益率L，是参照产品S的收益率的λ倍（杠杆比率），也就是说：
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严格地说，这是一种连续再平衡的策略，但可以用每日再平衡来合理近似。现在假设参照ETF服从几何布朗运动（GBM），因此：
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其中，与往常一样，μ为漂移项，σ为波动率，z为布朗运动。
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该再平衡策略的原始思想是获得如下形式的支付：
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我们用该式去猜测杠杆ETF的值的变化形式为：
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