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公司金融：实用方法（原书第2版） [:1704164245]
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公司金融：实用方法（原书第2版） 2.4.9 多个IRR以及无IRR的问题
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使用内部收益率法通常会遇到的一个问题是“多个IRR”。我们用如下非常规现金流形式来说明这个问题：[1]
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为了求出IRR，作下式：
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求解该方程时发现有两个IRR值能够满足该方程：IRR=1=100%，IRR=2=200%。为了进一步理解这个问题，考虑该项投资的NPV表（表2-11）和NPV图（图2-4）。
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表2-11 多个IRR时的NPV表
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图2-4 多个IRR时的NPV图
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从图2-4中可以看到，在IRR等于100%以及200%处NPV为0。当折现率低于100%时，NPV为负，当折现率介于100%和200%之间时，NPV为正。当折现率大于200%时，NPV为负。当折现率为140%时，NPV达到最大值。
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也有可能会遇到没有IRR值的项目。当现金流具有如下形式时即会发生这类“无IRR”问题。[2]
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为了求解IRR，作如下方程：
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对于这样的现金流形式，没有一个折现率可以使得NPV等于0。这是否意味着这是一个不赚钱的项目？在我们给的例子中，这恰恰是一个值得投资的项目。如表2-12及图2-5所示，对所有的折现率而言，NPV均为正。当折现率为66.67%时，NPV达到最低值（10），所有NPV均为正，因而就不存在IRR。
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表2-12 无IRR时的项目NPV表
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图2-5 无IRR时的项目NPV图
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如果一个项目的现金流形式是常规的形式（初期投资支出后紧跟着是现金的流入），则不会出现多个IRR的问题。然而对于非常规现金流的项目，如上例中所示，就可能出现多个IRR的问题。用于求解IRR的方程实际上是一个n次多项式。理论上一个n次多项式就有n个解，但其实解的个数不会多于项目所产生现金流的正负号变化次数。例如，若项目产生的现金流变化两次，则方程只可能有0个、1个或2个IRR的解。有两次现金流符号的变化并不意味着你一定会解出多个IRR，只是有可能如此。幸运的是，大多数资本项目只能解出一个IRR值。分析师应对会产生多个IRR的现金流形式保持警惕。