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博弈论基础 [:1704417390]
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第1.1节
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1.1 什么是博弈的标准式？在博弈的标准式中，什么是严格劣战略？什么是一个纯战略纳什均衡？
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1.2 在以下博弈的标准式中，哪些战略不会被重复剔除严格劣战略所剔除？纯战略纳什均衡又是什么？
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1.3 两个人就如何分配一元钱进行谈判，双方同时提出各自希望得到的份额，分别为s1和s2，且0≤s1，s2≤1。若s1+s2≤1，则二人分别得到他们所要的一份；如果s1+s2＞1，则两个人均一无所获。求出此博弈的纯战略纳什均衡。
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博弈论基础 [:1704417391]
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第1.2节
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1.4 假定古诺的寡头垄断模型中有n个企业，令qi代表企业i的产量，且Q=q1+…+qn表示市场总产量，p表示市场出清价格，并假设反需求函数由p（Q）=a-Q给出（设Q＜a，其他情况下p=0）。并设企业i生产出qi的总成本Ci（qi）=cqi，即没有固定成本，且边际成本为常数c，这里我们设c＜a。根据古诺的假定，企业同时就产量进行决策。求出博弈的纳什均衡。当n趋于无穷时，将会发生什么情况？
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1.5 考虑以下两个古诺双头垄断模型的战略空间有限的情况。第一，假定每个企业必须选择要么生产垄断产出的一半qm/2=（a-c）/4，要么生产古诺均衡产量qc=（a-c）/3，任何其他产量都是不允许的。证明这一非此即彼的博弈是一个囚徒困境式的问题：每一个企业都有一个严格劣战略，并且在均衡状态下，每一企业的福利都要比他们相互合作时下降。第二，假设每个企业可以选择qm/2或qc或第三种产量q’，求出一个q’的值，使得这一博弈在以下方面等价于第1.2.A节中的古诺模型，即（qc，qc）是惟一的纳什均衡，并且在均衡状态下，每一企业的福利都比他们相互合作时要低，但两个企业都没有严格劣战略。
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1.6 考虑在古诺双头垄断模型中，反需求函数为p（Q）=a-Q，但两企业有不同的边际成本，企业1为c1，企业2为c2，求出当每个企业0＜c1＜a/2时的纳什均衡。如果c1＜c2＜a但2c2＞a+c1，纳什均衡又有什么变化？
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1.7 在第1.2.B中，我们分析了产品有差异的贝特兰德双头垄断模型。同质产品的情况下结论是十分明显的。假设时，消费者对企业i产品的需求为a-pi，pi＞pj时为0，pi=pj时为（a-pi）/2。同时假设不存在固定成本，且边际成本为常数c，这里c＜a。证明如果企业同时选择价格，则惟一的纳什均衡就是每个企业的定价均为c。
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1.8 设有一批选民在一个单位区间从左（x=0）至右（x=1）均匀分布，为一个职位参加竞选的每个候选人同时选择其竞选基地（即在x=0到x=1中间的一个点）。选民观察候选人的选择，然后每一投票人把票投给其基地离自己最近的候选人。比如，如果有两个候选人，他们分别在x1=0.3和x2=0.6选择基地，则处于x=0.45左边的所有选民都会把票投给候选人1，右边的人都会把票投给候选人2，这样候选人2就可以得到55%的选票赢得这场选举。假设候选人只关心他能否当选——他们根本上一点都不关心其基地！如果有两个候选人，博弈的纯战略纳什均衡是什么？如果有三个候选人，求出一个纳什均衡。（假设选择同一个基地的候选人将平分这一基地可得的选票，得票最高的候选人不止一人时，谁当选由掷硬币来决定。）参见霍特林（Hotelling，1929）关于此类博弈的早期模型。
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博弈论基础 [:1704417392]
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第1.3节
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1.9 什么是标准式博弈的混合战略？什么是标准式博弈的混合战略纳什均衡？
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1.10 证明在1.1节中所分析的3个标准式博弈——囚徒困境、图1.1.1和图1.1.4中，不存在混合战略纳什均衡。
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1.11 解出习题1.2所给博弈的混合战略纳什均衡。
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1.12 求出下面标准式博弈的混合战略纳什均衡。
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1.13 两个企业各有一个工作空缺，假设企业所给的工资不同（其原因不在此处讨论，但关系到每一个空缺的价值）：企业i给的工资为wi，这里（1/2）w1＜w2＜2w1。设想有两个工人，每人只能申请一份工作，两人同时决定是申请企业1的工作，还是向企业2申请。如果只有一个工人向一个企业申请，他就会得到这份工作；如果两个工人同时向一个企业申请工作，则企业随机选择一个工人，另一人就会失业（这时收益为0）。解出两工人标准式博弈的纳什均衡。（要更进一步了解企业是如何决定工资的，请参阅蒙哥马利（Montgomery），1991）
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1.14 证明附录1.1.C中的命题B不仅对纯战略成立，对混合战略同样成立：在混合战略纳什均衡中，概率大于0的战略一定不会被重复剔除严格劣战略所剔除。
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博弈论基础 [:1704417393]