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演化与博弈论 [:1704421340]
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一、鹰鸽博弈
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假设有两种动物为了争夺价值为V的资源而展开竞争。所谓“价值”，这里意指通过竞争获得该资源的那种动物的达尔文适应性（Darwinian fitness）之增加值，其大小为V。值得注意的是，没有得到资源的那种动物也并非一定具有值为0的适应度。比如，这一“资源”是一个有利于栖息的地盘，而且另外存在一个较不有利的栖所，竞争的失败者将在那个栖息所中生长繁殖。假设占据有利栖所的动物平均能生育5个后代，而那些生活在非有利栖所的动物只能生育3个后代，那么V就等于两个后代（5－3＝2）。这样V就是竞争中赢者所增加的适应度，而失败者也并不必具有0适应度。在竞争的过程中，一种动物可以采取下列三个行为中的一个：“炫耀”、“战斗”或“撤退”。采取炫耀行为的动物只是虚张声势绝不会伤害到其对手，采取战斗行为的动物如能伤害对手迫其撤退，就能成功地获取资源，而采取撤退行为的动物则放弃竞争，将资源拱手让人。
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在真实的竞争中，动物将在上述三种行为中不断转换而表现出复杂的行为方式。但在这里，暂时假设在给定的竞争中，参与竞争的个体将只采取两种策略中的一种；而且假设一个特定的个体总是表现出相同的行为方式。所能采取的纯策略如下：
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鹰（H）策略：战斗，仅当自己受伤或对手撤退时才停止战斗；
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鸽（D）策略：炫耀，当对手开始战斗时立刻撤退。
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如果两种动物都采取战斗的策略，我们假设其中的某种动物迟早将受伤而被迫撤退。并且受伤将以其适应度下降C为其代价。当然你也可以设想两者都由于争斗而受伤的情形，但在这里我只是尽力寻求尽可能简单的模型。
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用H和D分别代表鹰策略和鸽策略，博弈的支付矩阵如表1所示。在这个矩阵中，其中的数字表示如果对手采取上面一行的某个策略，而自身采取左边一列的某个策略时，所得到的回报，或说是由于竞争带来的适应度的变化。用于构造这个矩阵的一些更深入的假设如下所示：
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表1 鹰鸽博弈的支付矩阵
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（1）鹰策略对鹰策略：每一个竞争者都有50％的机会伤害对手而获得资源V，也有50％的可能会受伤而退出竞争。这样我们就假设了决定行为的诸如基因等因素与决定在争斗中成功或失败的因素是相互独立的。我们将在第八章中讨论其他类型的资源争斗模型，在那些模型中影响竞争成功的个体差异因素，比如动物的体型大小等能够被竞争者观察到的因素。
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（2）鹰策略对鸽策略：鹰策略者获得了资源，而鸽策略者在受伤之前就在竞争中撤退。注意到鸽策略者所得到的回报为0，这并不意味着鸽策略者若存在于全体鹰策略者之中时，获得了0的适应度，而是意味着单个鸽策略者与单个鹰策略者竞争的结果不会改变那只鸽策略者的适应度。
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在上述我们假想的争夺地盘的竞争模型中，一个鸽策略者在与一个鹰策略者竞争之后，其适应度为3个后代，而不是0。
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（3）鸽策略对鸽策略：资源被两个竞争者所平等地分享。如果资源是不可分割的，那么竞争者将耗费大量的时间去炫耀，这样的竞争将在第三章中予以分析。
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再假想有一个无限的种群，每一个成员都采取H策略或D策略，且策略的选择是随机的，在开始竞争之前，所有个体都有同样的适应值W0。
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设p为整个种群中选择H策略的频率；W（H）和W（D）分别表示H策略和D策略所带来的适应度；E（H，D）表示个体选择H策略而对手选择D策略所带来的回报（其他策略组合所带来的回报也由类似的符号表示）。
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那么如果每一个个体都只参与一个竞争，那么：
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接着，我们假设个体能够通过无性生殖复制出与其同类型的后代，且其后代的数量与个体的适应度成正比。那么在下一代中采取H策略的频率p′为：
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公式（2.2）描述了整个种群的动态变化。已知V和C的值以及初始选择H策略的频率，那就能很容易计算出种群随时间是如何进行变化的。然而，更有意义的是探索那些种群将向其演化的稳定状态，如果这些稳定状态存在的话。稳定状态是否存在的判别条件将首先在下述的一个一般性情形中推导得出，在这个情形中有可能具有两个以上的策略，并且将其应用于两策略的鹰鸽博弈。
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如果I是一个稳定的策略，它必须具有下列性质：如果种群中几乎所有的个体都采取了I策略，那么这些典型个体的适应度必将高于任何可能出现的突变异种的适应度，否则这一突变异种将侵害整个种群，I也就不可能稳定。于是我们设想这样一个种群，它主要由采取I策略的个体组成，并且伴随存在着极小比例p的采取突变策略J的异种。那么类似公式（2.1），我们有：
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由于I稳定，那么W（I）＞W（J）。又因为p≪1〔1〕，这就要求对所有的J≠I有：