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演化与博弈论 [:1704421379]
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七、具有随机回报的消耗战
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一个包含两种类型个体的种群：类型1，出现的频率为q，其获胜所带来的回报为v1；而类型2，出现的频率为1－q，其获胜所带来的回报为v2。每一个个体都知道自己的类型以及v1、v2和q的数值，但是不知道对手确切的类型。例如，如果动物或是饥饿的（类型1），或是不饥饿的（类型2），并且v1和v2分别表示一个食物单位给饥饿的动物和吃饱的动物带来的价值，那么我们假设一个动物知道自己是否饥饿，但是只知道对手处于饥饿状态的概率。
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竞争发生在随机选择的个体之间。在一个选择可允许成本为m1的类型1的个体和一个选择m2的类型2的个体之间展开的博弈中，其博弈回报如表34所示。令博弈的ESS为：如果个体是类型1，那么选择密度函数为P1（x）的随机策略x；如果个体是类型2，那么选择P2（x）。于是，一个随机选择的个体采取x策略所满足的密度函数应该是
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表34 具有随机回报的消耗战的回报矩阵
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我们首先将证明密度函数G（x）没有“缺口（gaps）”和“概率原子”。假设G（x）有一个缺口，如图43a所示，对比选择策略A的个体和选择策略B的个体得到的回报，在某些相同的情形下，这两个策略都会取得胜利，并且在那些情形下会取得相同的回报。同时，在某些相同的情形下，它们都会失败，但此时A策略者将比B策略者损失更多。这样，策略B相比策略A更具优势，因此G（x）不能成为一个ESS。那就是说一个ESS不容许有缺口存在。
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图43 在具有随机回报的消耗战中，关于策略集合中不存在缺口和概率原子的证明。
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现在考虑图43b，在此图中，存在一个非零的选择策略A的概率P。对比选择策略A的个体和选择策略B＝A＋δ的个体得到的回报。在那些两个策略都获胜的情形下，它们的回报是相同的。当两者都失败时，B策略者的代价相比A策略者少δ，但是，B策略者能够在A策略者手中赢得P/2比例的竞争（即在面对的对手是A策略者时，有一半的机会获胜）。由于P值非零，由此得出结论，如果δ足够小，那么B策略者的期望回报将比A的期望回报更高。但如果G（x）是博弈的一个ESS，那么根据Bishop-Canning定理（附录三），上述情况不能成立。因此G（x）不能够具有一个概率原子。
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现在，我们可以证明p1（x）和p2（x）不可能相互重叠。考虑策略J＝［m，p2（x）］，那就是说，如果个体是类型1，则选择一个固定的m值；如果个体是类型2，则选择p2（x）。I是博弈的ESS，J＝［p1（x），p2（x）］。那么
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E（J，I）＝q［v1P（m）－R（m）］＋（1－q）S
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其中P（m）表示面对G（x）的m策略获胜的概率，R（m）表示面对G（x）选择m的期望成本，并且S表示面对G（x）类型2的个体所获的期望回报。
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根据Bishop-Canning定理，在所有支撑p1（x）的策略值m中，E（J，I）是一个常数。因此有
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v1P（m）－R（m）＝A
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其中A是一个常数并且m的函数P（m）和R（m）并不取决于竞争者是类型1还是类型2的。
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根据一个极为相似的论据，如果m在p2（x）的支撑中，那么
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v2P（m）－R（m）＝B
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其中B是一个常数。因此，如果m既在p1（x）的支撑中又在p2（x）的支撑中，那么
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由于G（x）没有缺口存在，P（m）随着m单调上升。由于v1≠v2，由此得到结论：只有唯一的m值能够满足（G. 2）。那就是说，在p1（x）和p2（x）之间不可能存在交叠部分，由于不存在缺口，所以两个分布将在m点处相遇。
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我们可以进一步证明，如果v1＞v2，那么p1（x）的图像将位于p2（x）之上，如图44所示。这些结论可以扩展到具有多于一种竞争者类型的情形，其中，不同的类型将获得不同的胜利回报。在极限状态下，如果胜利的回报是连续分布的，那么就会存在与每一个都相关联的唯一选择，胜利总是倾向于具有较高回报的那位竞争者。
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Bishop，Canning和Maynard Smith（1978）给出了这些命题的更正式的数学证明，并且展示了可以推导得到的实际的概率分布究竟是什么样的。我们进一步证明了在这一类型的竞争中G（x）是严格下降的。