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微观经济学十八讲 [:1704632841]
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第四节 利润函数与供给函数
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讲了生产函数与成本函数以后，我们就可以讲利润函数与供给函数了。
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设生产函数为f（x），这里的x是一个向量，即x＝（x1，x2，…，xn）为投入要素向量。设r＝（r1，r2，…，rn）为投入品价格向量，企业的基本问题是一个求利润极大化的问题，即
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如果解这一问题，我们分别找到了使利润最大的要素投入量x*，与产出量y*，那么x*与y*必定是（p，r）的函数（类似于马歇尔需求函数x（p，y）），即x*≡x（p，r），y*≡y（p，r）。我们称y*≡y（p，r）为企业的供给函数，称x*≡x（p，r）为企业的投入需求函数。要注意的是，这里的投入品的需求函数不同于第二节讲的投入品的需求函数，那里x＝x（p，r，y），即投入品的需求也取决于产出量y，我们称x＝x（p，r，y）为有条件的投入品需求函数，指x取决于y；而在这里，由于y*又取决于（p，r），所以x≡x（p，r），称x*≡x（p，r）为投入品需求函数，自变量中不包括产出y，只含产品价格p与投入品价格集r＝（r1，r2，…，rn）。
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因此，说到底，企业的利润π最终取决于（p，r）。由于（p，r）变动，导致企业对产出量y*与投入量x*的最优选择变动，最终会导致利润π的变化。于是，我们就可以定义利润函数。
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一、利润函数的定义
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企业的利润函数只取决于投入品价格与产出品价格，利润函数可以定义为下列最大值函数（maximum-value function）
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这个定义是指π（p，r）已经包括企业对产出量y与投入量x的选择是最优的，使得给定一组（p，r）→会有相应的（y，x）→并使（py－rx）最大。利润函数一定指最大利润是存在的。并且这个最大利润只依赖于（p，r）。
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这样的利润函数只有当规模报酬递减时才存在。如果生产技术是呈规模报酬递增的，我们选x′为生产投入品的一组合，f（x′）＝y′为对应的产量，则π＝pf（x′）－rx′为最大利润（最大利润是利润函数的定义所规定的），即pf（x′）－rx′在（p，r）给定时使利润最大。
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但是，由于生产技术是呈规模报酬递增的，我们会有
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不等式（7.57）两边都乘上p，各减去（r·tx′），有
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但这就与x′与y′＝f（x′）已使利润最大的前提相矛盾。因此，只要有规模报酬递增，就不会存在利润函数。
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同理可证，若规模报酬不变，又有利润最大值，则该利润必为零。
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二、利润函数的性质
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【定理】 如果生产函数在定义域上是连续，严格递增，且严格拟凹〔1〕，f（0）＝0，那么，对于产品价格投入品价格集利润函数π（p，r）是连续的，并且有：
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（1）对于p递增；
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