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费米的“小发现”和复杂性理论的未来
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S·斯特罗盖茨
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1942年12月2日，在芝加哥大学一个室内网球场进行的秘密实验中，费米（Enrico Fermi）建造了第一个自持的链式反应堆，迈出了原子弹发展的关键一步。58费米也因此总被人想起，至少公众是这样记住他的。不过在科学家中间，他赢得尊敬却是因为他宽广的胸怀。费米也许是同时站在理论和实验物理学两个巅峰的最后一人。布罗诺夫斯基（Jacob Bronowski）59曾有过挑逗性的评价：“在我印象中，他是我见过的人当中最聪明的——当然，也许是除了一个人以外的最聪明的人。”“他个头小，结实而有力，像个运动员，而且他心里总有明确的前进方向，仿佛能把事情看透。”
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就在1954年去世前，费米从物理学家通常说的一个消遣问题得到了很大的乐趣。那是一个简单而优美的问题——没有讲什么太现实的东西，不过是探索他一直好奇的一个基本问题的方法。现在，他的机会来了。这时，费米在洛斯阿莫斯访问，正在找理由来试验新的MANIAC，世界上第一台超级计算机。那机器在他看来就是挡不住诱惑的一辆赛车。
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费米同帕斯塔（John Pasta）和乌拉姆（Stanislaw Ulam）一起工作，他们想让机器模拟32个粒子组成的弹性链的数千个变量。整个体系代表一个理想化的通过化学键束缚的一维原子晶格。对于小振动，化学键表现出线性行为：如果原子分开的距离增大1倍，那么把它们拉回来的力也需要增大1倍。所有传统物理学都建立在这样的近似基础上。但费米知道，如果振动大了，真实的化学键行为应该是非线性的，没人知道那种情况下会发生什么事情。那时的数学给不出答案；没人能解那么多变量的非线性系统的方程。
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当然，问题也在这里。费米构造这个问题是因为传统方法对它无能为力。现在，有了MANIAC的帮助，他和他的合作者就要照亮经典物理学的那个非线性的黑暗角落了。他们的发现令人震惊。他们原想干扰静态系统时，非线性最终会使系统热起来——就是说，使系统退化到充满随机的状态，所有可能的振动模式具有相等的强度。这是热力学告诉我们的事情。但是，计算机却说不。经过很长时间以后，粒子几乎又回到了起点。这个奇怪的结果使人类第一次发现，非线性可能是惊人秩序的一个来源。非线性带来混沌，非线性又把它夺走。60
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费米为那个回声现象感到高兴——据乌拉姆回忆，他亲切地称它是一个“小发现”——不幸的是他没能活着看到发表的结果。失去了费米，帕斯塔和乌拉姆在写那篇文章时也没愉快过，他们默默地计算，写进洛斯阿莫斯的内部报告；10年以后，它才作为费米著作的一部分发表出来。
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费米-帕斯塔-乌拉姆问题在20世纪50年代初一定显得特别孤单。那时候，物理学都是关于量子电动力学的，没有人考虑跟经典力学一样陈旧而枯燥的事情。那个问题不是已经彻底考察过300年了吗？费米却不同，他认识到这个题目还几乎没人碰过；所有非线性问题跟从前一样令人困惑。在今天看来，不论对这个问题的选择，还是为了解决它而设计的革命性的计算机实验，都说明费米是多么有远见。经过适当推广，他的远见实际上更符合我们自己的时代，也适合未来50年的非线性动力学。
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1953年，非线性动力学几乎不能把握涉及两个耦合振子的问题，更不用说更多的振子了。振子是工程师的东西，在前半个20世纪里，工程师们设计了很多应用非线性特性的工具：为最早的收音机和电视机供电的真空管，雷达和通讯的锁相线圈，精密光学和眼科手术的激光。所有这些发明都依赖于自持非线性振子——特别是依赖于它们相互同步或与输入信号同步的倾向。可是这些技术所用的振子很少，一般只有一两个。大量振子的排列是不可能的；那时还没有预言大量振子的集合行为的数学。
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能处理大量相互作用粒子的学科只有统计力学，这个物理学分支的产生原是为了解释亿万分子组成的气体的行为。费米是统计力学的大师，很清楚它在热力学平衡系统发挥的作用。遗憾的是，非平衡现象完全是另一码事。这也正是费米-帕斯塔-乌拉姆模拟所产生的令人惊奇的结果：系统不像人们希望的那样固定在平衡状态。普通的统计力学在这里失去了意义。
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在费米实验后的50年里，非线性动力学和统计力学都成熟起来了——还有一定程度的重合。过去几十年的几个伟大的理论成果，利用两个学科的技术取得了惊人的进步。物理学家费根鲍姆（Mitchell Feigenbaum）运用统计物理学的重正化群方法（赢得过诺贝尔奖的方法）证明，存在一定的普适定律，决定着从规则行为向混沌行为的转变。他的预言很快在诸如心房、化学反应和半导体等众多系统得到了证实。理论生物学家温弗里（Arthur Winfree）证明，巨大的生物学振子网络的同步化现象令人联想起相变，就像水在临界温度下突然凝结成冰。复杂系统的其他重要模型——考夫曼（Stuart Kauffman）的基因网络、巴克（Per Bak）的自组织沙堆、霍普菲尔德（John Hopfield）的人工神经网络——都通过统计力学与非线性动力学的结合得到了说明。
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非线性动力学是跟着由几个组织原理所决定的一个简单逻辑结构进步的。最重要的一个原理是，小系统比大系统更容易。最早认识的一类非线性问题就是那些只包含两个变量的系统——如摇动的摆，其状态完全由位置和速度来刻画；如果这两个量确定了，我们就能预言它在未来任何时刻的准确位置。
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三个变量的问题会野蛮得多：它们可以是混沌的。混沌意味着在确定法则统治下的系统也可能以随机的、似乎不可预言的方式运动。根据洛伦兹（Edward Lorentz）和其他混沌学者从1960年到1985年的研究，我们认识了这类奇异的行为方式的普遍性，解释了它们的一般特征。从生态系统中的种群涨落到水龙头无规则的滴水，混沌可能意外地出现在任何地方。混沌很快就在实践中应用开了，如编密码甚至作曲。
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接着，非线性动力学的前沿转向了更大的系统，一般是大量相互作用单元构成的网络。在这方面，涉及大量耦合振子的费米-帕斯塔-乌拉姆问题更有现代意义了。在这类耦合系统中，还有进一步的组织原则将我们引向一些最容易处理的问题。有些原则是针对网络的组成单元而言的：例如，振荡单元的集合行为比混沌单元的集合行为更容易预言，同样的单元比多样的单元更容易预言。另一些原则是关于单元的联络方式的：规则或随机结构的网络比精巧联络的网络更容易。总结起来，这些启发指引我们去研究那些以离散晶格或其他简单排列方式耦合的全同振子的系统。在过去几年里，非线性动力学就是这样发展的。几个热点问题是关于多个耦合单元系统的同步化，如激光系统、神经元系统和所谓约瑟夫森节的超导系统。除了离散晶格外，有些研究者在关注连续介质中的模式形成，如流体、化学反应、神经和心脏组织。也许最激动人心的还是关于螺旋波动的动力学，它可能关联着心室纤维颤动（最危险的一类心率不齐）。
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跟这些巨大非线性系统相似的，是圣塔菲研究所的研究者们所谓的“复杂性适应系统”——一些想象的由千百万个竞争的有机体、化学物质、公司或证券交易所组成的系统，每个系统都适应各自的环境，从而也改变其他系统的环境。这些系统的计算机模拟模型显然是推测性的，然而它提供的线索却让我们隐约看到了自然选择对一大堆问题的影响：生态系统的恢复能力、生命的化学起源、市场中公司之间的竞争以及股市的涨落。
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从许多方面说，这些达尔文式的模型都是费米-帕斯塔-乌拉姆研究的智力后代。我们发现它们对计算机的态度是多么相似：不把计算机作为玩弄数字的机器，而把它作为一种解释的工具，一盏照亮我们在黑暗中摸索的明灯；我们发现复杂的非线性系统也同样享有意外秩序的魅力；我们发现这些模型都缺乏现实性。正如费米的一维粒子链是晶格的刻意简化，今天计算机模拟的复杂性适应系统也是真实生态系统和真实市场的粗略漫画。现在看来，那是不错的策略，但在未来的几十年，这个领域还要成长。我们面临的挑战是，寻求能囊括更多实在而不失远见的方法。
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我们将面临的第一道障碍是刻画复杂网络的联络。现有的模型具有理想化的随机或规则的拓扑，而我们需要知道真实网络是如何组织起来的。如果我们想知道大脑如何计算，细胞为什么癌变，那是基本的要求。在过去的三年，我们已经开始研究一些网络的具体结构，包括血液网络、神经系统、电力网络和互联网络。令人惊奇的是，这些网络尽管千差万别，却有着某些普遍的结构形式。
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例如，它们都表现出小世界现象（大家熟悉的所谓6度分离）：几乎所有的节点对都通过一条很短的链相连接。61而且，每个节点连接的数目倾向于幂律分布，那种分布曲线的尾巴比正态的钟形曲线要大得多。这意味着，绝大多数节点没有很好的联络，但是也有为数不少的巨大的联络中心——像网上的雅虎或者生化反应系统中的ATP。这些拓扑特征一定会影响网络所能支持的集合动力学的类型——它们对随机破坏或恶意攻击的反抗，它们传播扩散或支持整体计算的能力，等等。但是我们现在还一点儿也不知道如何将网络的拓扑与它的整个动力学联系起来。
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实际上，在自然科学以外，我们几乎还没有好的动力学模型。尽管网络遍及生物学、社会学和经济学，但是对决定基因、个人和公司之间相互作用的法则我们还知道得太少。这是我们在未来50年需要清除的第二道障碍。如果不能从数据推测局部的动力学，我们的复杂系统模型就永远不可能超越漫画式的描绘。
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1952年，霍奇金（Alan Hodgkin）和赫胥黎（Andrew Hux-ley）根据他们对乌贼神经轴突的电生理学测量，重构了神经动力学，这是从数据推测动力学的一个经典例子。他们有很好的条件做控制实验，在实验中，神经隔膜上的电压可以调节为任何数值，然后维持在那个水平。通过测量作为电压函数的穿过隔膜的钠、钾和其他物质流，他们导出了单个神经元的非线性动力学的准确图像。
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困难的是，这种策略当然并不总是充分的。在其他情形，它也许不可能在一系列希望的水平上把握任何变量。不过，还有更多的间接方法能做出这些必需的推测。例如，我们考虑控制细胞行为的遗传网络。现在我们有了DNA片段，能同时测量作为时间函数的几千个不同基因的行为，可我们还是不知道哪些基因在相互交流，也不知道它们以怎样的定量方式影响彼此的活动。所有信息都多少反映在DNA片段的数据上，可是我们不知道怎么破译那些密码。如果我们能发展根据多个时间序列的测量来推测动力学的系统方法，那进展一定有着巨大的意义——不仅对生物学，也对社会学和经济学。
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刻画联络特征的问题比推测动力学的问题容易得多。不过，就算两个难题都解决了，我们还会迎面碰上一个最根本的障碍。一旦投身去探索千万个相互作用变量的非线性系统，我们就不可能躲避这个障碍。它在费米-帕斯塔-乌拉姆问题中就以原始的形式显露出来了，说实话，没人知道该对它做些什么。我们总是忽略它，或者随意地改变问题的提法，但有时却不得不直接面对它。
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简单说，困难在于我们的大脑只能想象三维的东西。进化已经那样地将我们的大脑网络固定下来了。有了计算机辅助训练，我们也许能模糊地感觉更多的维，但我想大概还是画不出千万维的图像。
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为什么这是个难题呢？因为，自100年前庞加勒（Henry Poincaré）在引力的三体问题中发现混沌以来，几何就成了我们在非线性动力学中的最佳伙伴。记住，非线性方程一般不能以封闭的形式求解，所以代数公式没有用了。但庞加勒证明，我们不需要公式。画出正确的图形，我们就能理解非线性系统的许多关键的定性特征。庞加勒的方法为每一个状态变量赋予一个坐标轴，如果只涉及两三个变量，我们可以很容易把动力学画出来。但是对今天千万个变量的问题，我们却手足无措了。几何方法仍然有效，利用更抽象的推理形式也取得了一些进步，但不把图像直接画出来，我们对动力学还是茫然的。
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因为这一点，我们长久没能从理论上认识湍流。尽管控制方程已经知道100多年了，我们却看不出它们的解在庞加勒定义的“状态空间”里有什么表现。特别是，我们画不出吸引子——长期动力学的本质——因为状态空间是无穷维的。
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