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科学的价值 第三章 空间的概念
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1.引言
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在我迄今专论空间的文章中，我尤为强调非欧几何学所引起的问题，而把其他比较难以研究的问题，例如有关维数的问题，几乎完全撇在一边。我考虑的所有几何学皆以三维连续统为公共基础，而三维连续统对所有几何学都相同，仅因人们在其中所画图形或当人们想要度量它时，它本身才有所分化。
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在这个本来是无定形的连续统中，我们可以设想线和面的网络，然后我们可以一致认为，这个网的网格彼此相等，只有在这一约定之后，这个变得可度量的连续统才变为欧几里得空间或非欧空间。因此，两种空间中的这个或那个能够中立地从这一无定形的连续统中产生出来，犹如在一张空白纸上可以中立地画直线或圆一样。
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我们知道，在空间中有内角之和等于两直角的直线三角形；但是，我们同样也知道有内角之和小于两直角的曲线三角形。一种的存在并不比另一种的存在可疑。若称前者之边为直线，则采用的是欧几里得几何学；若称后者之边为直线，则采用的是非欧几何学。这样一来，询问采用什么几何学合适就是询问把什么线称为直线合适吗？
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很明显，实验不能解决这样的问题；例如，人们不应当询问，实验决定我该称AB为直线，还是该称CD为直线。另一方面，我也不能说，我没有权利把直线的名称给予非欧三角形之边，因为它们与我们直觉到的直线的永恒观念不一致。当然，我姑且承认，我有欧几里得三角形之边的直觉观念，可是我同样有非欧三角形之边的直觉观念。为什么我有权利把直线的名称用于第一种观念，而不用于第二种观念呢？这个片言在何处形成这个直觉观念的组成部分呢？显然，当我们说欧几里得直线是真实直线而非欧直线不是真实直线时，我们只不过意味着，与第二种直觉观念相比，第一种直觉观念对应于更为值得注意的对象。但是，我们怎样决定这个对象是更为值得注意的呢？我在《科学与假设》中已研究过这个问题。
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在这里，我们看到经验介入了。如果欧几里得直线比非欧直线更为值得注意，这主要是因为它与某些值得注意的自然对象相差无几，而非欧直线却与这些对象大相径庭。但是，可以说，非欧直线的定义是人为的；如果我们暂且采用它，我们将看到，两个不同半径的圆获得了非欧直线的名称，而两个相同半径的圆，一个能够在另一个不能满足它的情况下满足该定义；如果此时我们把这些所谓的直线之一不变形地加以移动，它将不再是直线。但是，我们凭什么权利把这两个图形——欧几里得几何学把它们称为具有同一半径的两个圆——看做是相等的呢？这正是因为，通过把它们中的一个不变形地移动，我们能够使它与另一个重合。为什么我们说这一移动要在不变形的情况下实现呢？要给它一个健全的理由是不可能的。在所有可想象的运动中，有一些运动欧几里得几何学家说它们不伴随变形；而另一些运动非欧几何学家却会说它们不伴随变形。在第一种运动中，即在所谓的欧几里得运动中，欧几里得直线依然是欧几里得直线，而非欧直线并非保持非欧直线；在第二种运动中，或者说在非欧运动中，非欧直线依然是非欧直线，而欧几里得直线并非保持欧几里得直线。因此，无法证明，把直线称为非欧三角形之边是没有根据的；不过可以指出，如果人们继续把欧几里得运动称为没有变形的运动，那是毫无道理的；但是，同时还可以表明，如果非欧运动被称之为无变形的运动，那么把直线称为欧几里得三角形之边同样是毫无道理的。
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现在，当我们说欧几里得运动是无形变的真实运动时，我们想说什么呢？我们只是说它们比其他运动更为值得注意。为什么它们更为值得注意呢？这正是因为某些值得注意的天然物体即固体经历几乎类似的运动。
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人们能够想象非欧空间吗？当我们接着问这个问题时，这就是意味着，我们能够想象这样一个世界——在这个世界上，值得注意的自然对象几乎倾向于非欧直线的形状，值得注意的天然物体频繁地经历几乎类似于非欧运动的运动——吗？我在《科学与假设》中已经表明，对这个问题必须做肯定的回答。
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人们往往注意到，假如宇宙中的所有物体同时以同一比例膨胀，我们便无法觉察这一事实，因为我们的所有测量仪器像被量度的对象本身一样同时增大。在膨胀之后，这个世界按照它的进程继续运行，如此非同寻常的事件我们居然一无所知。换句话说，两个相互类似的（该词类似于欧几里得几何学第Ⅵ编的意义）世界将绝对不可区分。但是，事情不止于此；不仅在世界相等或类似的条件下，即在我们通过改变坐标系或改变与长度有关的标尺从一个世界到达另一个世界的条件下，世界是不可区分的；而且在通过任何“点变换”从一个世界到另一个世界的条件下，它们还将是不可区分的。我想说明一下我的意思。我假定，一个世界的一点且是惟一的点与另一个世界的每个点对应，反之亦然；此外，一点的坐标是对应点的连续函数，在其他方面完全是任意的。我还假定，在第二个世界中，恰恰处于对应点的具有同一本性的对象对应于第一个世界的每个对象。我最后假定，在初始时刻满足的这个对应关系被无限期地保持下去。我们便无法把这两个世界彼此区分开来。空间的相对性通常没有在如此广泛的意义上理解；无论如何，这样理解它是正当的。
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如果这些宇宙之一是我们的欧几里得世界，它的居民习惯称谓的直线将是我们的欧几里得直线；但是，第二个世界的居民习惯称谓的直线却是曲线，这种曲线相对于他们所居住的世界和他们习惯称谓无形变运动为运动来说，具有相同的特性。因此，他们的几何学将是欧几里得几何学，而他们的直线并非我们的欧几里得直线。所谓从我们的世界转移到他们的世界的点变换，就是它的变换。这些人的直线将不是我们的直线，但是它们彼此之间的关系与我们的直线相互之间的关系相同。正是在这个意义上，我说他们的几何学将是我们的几何学。于是，如果我想最后宣布，他们欺骗他们自己，他们的直线不是真实直线，如果我们还不愿意承认这样的主张毫无意义的话，那么我们至少必须坦白，这些人没有任何方法辨认他们的错误。
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2.定性几何学
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所有这一切相对说来都易于理解，我已经多次重复了，我想不需要进一步详述这个问题了。欧几里得空间不是强加于我们感觉的形式，由于我们能够想象非欧空间；但是，两种空间——欧几里得空间和非欧空间——均以我在开始提到的无定形连续统作为共同的基础。从这种连续统出发，我们或者能得到欧几里得空间，或者能得到罗巴契夫斯基（Lobachevsky）空间，犹如我们在未标度的温度计上刻画适当的刻度，把它做成华氏（Fahrenheit）温度计或列氏（Réaumur）温度计一样。
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于是，又出现了一个问题：这种无定形的连续统——我们的分析容许它幸存——是强加于我们感觉的形式吗？倘若如此，我们应该扩大拘禁我们感觉的监牢，但是它总是一个监牢。
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这种连续统具有被免除所有测量观念的若干特性。研究这些特性是科学的对象，许多大几何学家，尤其是黎曼和贝蒂（Betti）培植了它，它得到了拓扑学的名称。在这门科学中，抽象是由每一个定量观念组成的，例如，如果我们断言，在一条线上，点B在点A和点C之间，我们将满足这一断言，至于线ABC是直线还是曲线，抑或长度AB等于长度BC还是它的两倍大，不必费心去了解。
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因此，拓扑学的定理具有这种特色，即使图形由不熟练的制图员描画，他严重地改变了所有的比例，他把直线画得弯弯曲曲，但是定理依然为真。用数学术语来讲，没有用任何“点变换”来改变它们。人们往往说，度量几何学是定量几何学，而射影几何学则是纯粹定性的。这不完全为真。直线还是能用在一些方面依然具有定量的特性与其他线区别开来。因此，真正的定性几何学是拓扑学。
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关于欧几里得几何学真理所提出的同一问题，在拓扑学的定理中被重新提了出来。它们能够通过演绎推理得到吗？它们隐蔽了约定吗？它们是实验的真实性吗？它们是或者强加于我们感性、或者强加于我们知性的形式的特征吗？
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我只希望注意，最后两个解答是互不相容的。我们不能同时承认，设想四维空间是不可能的和经验向我们证明空间有三维。实验家向自然提出一个问题：它是这个还是那个？在没有设想二者择一的两个措词的情况下，他无法表述它。如果无法设想这些措词之一，那么诉诸经验既无用，也不可能。无须观察就可以知道，时钟的指针在表面没有指示15时，因为我们预先知道只有12时，我们也无须查看指针是否在15的刻度处，因为根本就没有这个刻度。
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同样也要注意，在拓扑学中，经验论者摆脱了能够把他们难倒的一个最严重的反对理由，摆脱了使他们把自己的论点用于欧几里得几何学真实性的全部努力事先绝对落空的困境。欧几里得几何学的真实性是严格的，而实验仅仅是近似的。在拓扑学中，近似的实验足以给出严格的定理；例如，如果人们看到空间既不能有两维，也不能小于两维，或者既不能有四维，也不能大于四维，那么我们可以肯定，它严格地有三维，由于它不会有两维半或三维半。
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在拓扑学的所有定理中，最重要的是在谈到空间有三维时所阐述的定理。这就是我正准备考虑的东西，我想用这句话提出问题：当我们说空间有三维时，我们意味着什么呢？
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3.多维物理连续统
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我在《科学与假设》中已说明过，我们从何处推导出物理连续统的概念，数学连续统的概念怎样由它产生。正巧，我们能够相互区分两种印象，而无法把每一个与第三个区分开来。例如，我们能够毫无困难地把12克的重物与10克的重物区别开来，而11克的重物既不能与12克的重物区别开来，也不能与10克的重物区别开来。把这样一个陈述翻译成符号，则可以写为：
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A=B，B=C，A
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这就是物理连续统的公式，虽然粗糙的经验把它给予我们，但是由此却产生了无法容忍的矛盾，只有引入数学连续统方能消除这个矛盾。这就是其步骤（有公度数和无公度数）在数目上是无限的但却互为外部的尺度，这些步骤不像与前述公式一致的物理连续统的元素那样互相侵犯。
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可以说，物理连续统犹如无法分辨的星云；最完善的仪器也不能成功地分辨它。毫无疑问，如果我们不用手判断重量，而用可靠的天平来称量重量，那么我们便能把11克的重物与10克的重物和12克的重物区别开来，我们的公式变成：
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