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我的大脑敞开了：爱多士的数学之旅 第六章 失乐园
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1938年10月4日当爱多士来到高等研究所（IAS）时，研究所刚好成立5周年。它位于新泽西州普林斯顿城的郊区，占地约1平方英里，四周树木环绕，远离外面世界的喧嚣。用其创建者——美国教育改革家弗莱克斯纳（Abraham Flexner）的话来说，这里是知识分子真正的“乐园”。
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8年前，弗莱克斯纳开始与后来成为慈善家的路易斯·班伯格（Louis Bamberger）及其胞妹卡罗琳·班伯格·富尔德（Caroline Bamberger Fuld）打交道。这对兄妹在那不久前一直是当时美国第四大零售连锁店班伯格公司的老板。就在1929年美国股票出现猛跌的一个黑色星期一之前6周，他们把连锁店转让给了梅西（R. H. Macy）公司，再度展现了他们创业时的敏锐洞察力和好运气。班伯格家族的慷慨大方就像他们的运气一样，他们决定用自己的钱财为那些曾帮助他们积累财富的人士——新泽西州的顾客们——做一些有益的事。他们的第一个念头是捐助一家医学院。于是兄妹俩拜访了弗莱克斯纳，他是一位以揭露医学院的腐败和欺诈而闻名的著名医生和教育者。
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对于如何最佳地利用这笔钱，弗莱克斯纳有他自己的想法。他向来访者描绘了他心目中研究所的蓝图，它与自毕达哥拉斯时代以来世界上任何研究所都不同。如同毕氏学园一样，弗莱克斯纳设想它将是“一个安全的避风港，在这里，学者和科学家把世界及其种种现象作为他们的实验场所，而不会被强行卷入近期的旋涡中”。美国有很多医科学校，但却没有一个像弗莱克斯纳所想象那样的研究所。班伯格兄妹立刻被他的想法迷住了。不久他们就开出了巨额支票，资助弗莱克斯纳去实现他的梦想。
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在欧洲，所谓“近期旋涡”是由法西斯主义引发的，而且正在失去控制地蔓延，许多世界上最优秀的科学家和数学家都急需一个安全的避风港。他们中间最重要的人物就是世界闻名的物理学家爱因斯坦。弗莱克斯纳的第一个漂亮之举就是与爱因斯坦签订合约聘请他为研究所的首席教授，这立刻提高了研究所在国际上的知名度。借助于爱因斯坦的威望，不必说丰厚的薪水和悠闲的工作条件——这里没有教学任务，因为研究所没有学生，只有教授和博士后“工作人员”——研究所不久就成为各个国家的知识界精英们所重视和愿意前往的地方。至少对数学家和理论物理学家是如此，因为他们的学科是最纯粹的，很少有学科能与之相比。当研究所的一位来访者要求看看爱因斯坦的实验室时，这位伟大的物理学家炫耀地从胸部口袋内掏出一支自来水钢笔，说道：“在这里。”这就是高等研究所让人喜欢的地方。
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对于爱多士来说，也许在每一方面研究所看起来都像弗莱克斯纳所许诺的乐园那样。后来成为研究所所长的奥本海默（J. Robert Oppenheimer）称它为“知识分子的宾馆”；与爱多士一起在研究所的另外一位匈牙利数学家哈尔莫斯（Paul Halmos）则说，它不过是一个“数学的乡村俱乐部”。“大家——包括我自己——在普林斯顿是如何搞研究的呢？”哈尔莫斯感到奇怪。
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长时间的散步，公共房间的闲聊，没完没了的围棋赛，不知道研究工作在什么时候进行。爱多士和其他数学家们在研究所迷上围棋是很容易理解的。这个古老的亚洲游戏表面上看起来很简单，只是在一个19×19矩形格子的交点处交替走黑石子和白石子（在研究所他们用图钉）。一局围棋，从本质上来看，不过是一个图论问题。如果像哈代所写的，“象棋是数学的赞美诗”，那么围棋就是大合唱。在一次象棋比赛中，一台专门用于下象棋的IBM“深蓝”超级计算机击败了世界冠军卡斯帕罗夫（Gary Kasparov），但是对于围棋这样的娱乐项目，即使最棒的下围棋的计算机甚至不能够击败一个优秀的业余棋手，起码在近期内不能做到，这也就是为什么围棋对于这些在研究所里从事脑力劳动的人来说是一个很好的娱乐活动的原因。
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在娱乐和游戏之外，哈尔莫斯、爱多士和其他科学家完成了数量惊人的工作。在爱多士传奇式的多产研究生涯中，研究所的一年半尤为突出。在所观察的每一领域，他都发现了要解决的问题并找到了要合作的同行。爱多士天生的数学才能甚至令研究所的那些精英都感到惊讶。曾经有一次，在“法恩楼”（Fine Hall）的公共休息室里，爱多士不经意地听到两位数学家在讨论维数论中的一个问题，这是拓扑学的一部分。而爱多士当时对此几乎一无所知。这两位数学家正在拼命地思索希尔伯特空间里有理点集的维数这个未解决的问题。那是什么意思并不重要，就连爱多士都没弄明白。想试运气的人会说答案要么是0要么是无穷大。而站在黑板旁的两位数学家——霍维茨（Witold Hurewicz）和沃曼（Henry Wallman），他们都是此领域的领头专家——对这问题却没有取得丝毫进展。
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“什么问题？”爱多士问道。两位数学家被突然打断，显得有点不耐烦，他们很快地做了解释。
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“维数是什么意思？”然后他又问道，显示出不可救药的无知。他也不清楚希尔伯特空间是怎么回事。为了让这位闯入者安静下来，沃曼匆匆说了一下维数的定义。他们如释重负，爱多士终于走了。但1小时之后他带着问题的答案回来了。令两位专家吃惊的是，答案竟然是1。爱多士的论文一年后发表了，哈尔莫斯写道，这是“对一个在数月前他还一无所知的学科的重要贡献”。
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爱多士一直把他在普林斯顿的那一年描述为他生涯中最为成功的一年。他继续发掘关于整数的那些出人意料的奇妙结果。例如，经过独自的努力，爱多士证明了任意多个连续整数之积不是一个完全平方数。结论看起来既简洁又清晰，使人再度信服数学结构的有序性。但是在同年的一篇标志着他的一项重大成果的文章里，爱多士阐述了在整数的表面规则的背后实际隐藏着混乱。当研究所最著名的居民爱因斯坦正在设法否定量子论从而证明上帝不会拿宇宙开玩笑时，爱多士与一位年轻的波兰数学家卡茨（Mark Kac）却证明“最高法西斯”正在与整数开玩笑。
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卡茨是刚从波兰来到这里的，他在约翰·霍布金斯大学与温特纳（Aurel Wintner）一起搞概率论方面的研究，后者是1930年移居美国的一位匈牙利数学家，然而数学不是卡茨来到这里的唯一原因。当时欧洲盛传一个笑话，一个人问另外一个人：“你是雅利安人吗，或者你正在上英语课吗？”卡茨不是雅利安人，因此在来巴尔的摩之前，他匆匆地、有点随意地学了一些英语。他的数学词汇量很大，但在吃饭时却遇到了麻烦；在餐馆里他点到的菜跟他想要的总是天差地别。他老在当地的一个杂货店里解决午餐，学会了跟着别人说“奶油芝士三明治和咖啡”，而且很清晰。服务员每一次都要问：“On toast？”(1)这超出了卡茨的语言能力，他傻乎乎地笑了一下，像是在思考。后来他查了一下袖珍词典，发现“toast”还有这个意思：“先生们，国王在此！”“从逻辑上来说，我想‘On toast’应该是某种敬称，我一直以为是这样。”卡茨写道。又过去了两周，每一次侍者都要问：“On toast？”他总是彬彬有礼地点一下头然后回答：“On toast！”一段时间后，卡茨感到有点不对，于是请教他的一位朋友。等他笑够之后，他的朋友问道：“你为什么不否定一次呢？这样你不就很快能知道‘On toast’是什么意思了？”“我不想冒不礼貌的危险。”卡茨回答道，随后又笑了。
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当卡茨在波兰跟随伟大的数学家斯坦因豪斯（Hugo Steinhaus）学习时，他就被概率论深深吸引了，尤其是正态分布，后来的学生都很清楚它是一个近似于钟形的曲线。对无论哪一领域的随机事件，这一钟形曲线都会有类似的凸起。如测量一组12岁孩子的身高：大部分人都集中在平均值左右，当身高与平均值离得越远，高个子和矮个子的人数越少。同样的曲线也可以描述人类的智商分布——多数人的智商都在曲线的峰点100附近，像研究所爱多士那些人应该分布在峰点右侧的一个狭窄区域。人的寿命和掷钱币也可以用正态分布来描述。古老楼梯的光滑踏板由于多年无数次的践踏而被磨损，呈现出倒置的钟形。中间凹陷的部分最深，因为大多数的人都踩在中央，而两边则逐渐变浅，这是数学原理的物理表现。
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正态分布是法国数学家棣莫弗（Abraham De Moivre）于1733年发现的。1685年棣莫弗18岁的时候，路易十四取消了过去颁布的南特诏书，这是一份在天主教为主体的法国保证那些新教徒公民权利的诏书。棣莫弗是一个新教徒，为追求他的信仰而被打入监狱。两年后获释，出狱后他从法国逃亡到了英国。而在英国，1688年的“光荣革命”之后，法律剥夺了那些天主教徒的权利。棣莫弗定居在英国，却无法获得一个学术职位。因此他主要靠教数学来维持自己的生活。几乎每天下午，在他讲完课之后，都能在圣马丁巷的斯劳特咖啡馆找到他。他在这里向那些掷骰子、玩牌和卖保险的赌徒们卖弄他在概率问题上的专长。
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棣莫弗对赌徒们急于想知道的一个问题非常感兴趣：如何鉴别一枚硬币是否公正？一枚公正的硬币落在地上时正面向上的可能性和正面向下的可能性应该是一样的。抛100次硬币应该发生50次正面向上。但那只是一个平均值，有时可能是43次向上，有时可能是62次。事实上，介于0到100之间的任何结果都是可能的，但是有些结果是不太可能的。判断是否公正的关键是要知道各种结果的可能性。在汤姆·斯托帕德（Tom Stoppard）的话剧《罗森克兰茨和吉尔登斯特恩之死》(2)中，两个主角用掷硬币来赌，这枚硬币也许是公平的也许不是。吉尔登斯特恩赌反面向上，当硬币连续85次正面向上落在地上时，可以理解吉尔登斯特恩沮丧的心情。他质问罗森克兰茨，但对方看起来并不觉得有什么不妥。
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吉：没有问题吗？不停一下吗？
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罗：是你自己掷的呀？
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吉：没有一点疑问吗？
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罗：哦，我赢了——不是吗？
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吉：但是如果你输了呢？如果它们反面向上，就像刚才那样，一个接着一个，连续85次反面向上？
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罗：连续85次反面向上？
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吉：是的！你会怎么想呢？
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罗：嗯……嗯，那我首先要仔细看看你的硬币！
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涉及自身利益时，数学发挥了作用。吉尔登斯特恩说：“抛硬币时平均结果的稳定性依赖于一个原理或者毋宁说是一种趋势，或者让我们说是一种概率，无论如何，它实质上就是数学上可以计算的机会，能确保你不会输得太多而使自己沮丧，也不会赢得太多而使对手灰心。”棣莫弗的正态分布也许可以解释吉尔登斯特恩关于硬币被扭曲的怀疑，它给出了当一枚硬币被多次抛掷时各种期望结果的概率分布。
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