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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 三、关于理想时钟
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在结束本文前，我们还要讨论一个衍生话题：什么是时钟？之所以要讨论这个话题，是因为时钟佯谬的传统解释，尤其是爱因斯坦的思路，很容易产生一个与“什么是时钟？”密切相关的问题，那就是加速度究竟会不会对时钟产生影响？关于这个问题，许多现代教材及专著——比如前面提到的托雷提、塞克斯尔、伦德勒、米斯纳等人的著作——都给出了明确回答，我们在这里作一个简单介绍。
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首先要指出的是，对于具体的时钟来说，这个问题的答案显然与时钟的结构有关（而且大都是肯定的），比如对加速场中的摆钟来说，加速度越大，摆动的周期就越短，如果我们用这种摆钟的摆动次数来计时，加速度对它显然是有影响的。又比如对人来说，如果我们将生理节律作为时钟——就像郎之万所做的那样，它显然也会受加速度影响，在足够大的加速度下——对飞行员来说是10g以上，对本文作者来说估计5g就够了——甚至会“停止计时”（一命呜呼）。不仅宏观世界的时钟如此，曾被用来验证相对论的原子钟，严格讲也是会受加速度影响的，因为它的能级结构与包括加速场在内的各种外场有关。甚至连最早对时钟延缓效应作出实验判决的μ子的衰变，我们也并不肯定它不会受加速度影响。只不过，对于微观世界的时钟来说，与它内部的微观相互作用相比，加速场的影响往往是微乎其微的，因此当我们采用微观世界的时钟时，通常都能忽略加速度的影响。
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但无论加速度对具体时钟的影响是有还是无，是大还是小，有一点是肯定的，那就是我们并不认为像摆钟受加速度影响，或本文作者在5g的加速度下“停止计时”那样的效应反映了时间的固有性质。相反，我们认为那是具体时钟的缺陷导致的表观效应，是可以、并且必须校正的。我们真正关心的是反映时间本质的时钟，即所谓的理想时钟。本文所说的时钟除非有特别说明，指的也全都是理想时钟。
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因此我们的问题其实是：什么是理想时钟？对此，相对论——无论狭义相对论还是广义相对论——的回答是：理想时钟是记录自己世界线长度的时钟。这是理想时钟的定义，被托雷提称为“时钟假设”（clock hypothesis）。不难证明，对于时钟佯谬所涉及的闵科夫斯基空间的时钟来说，这一定义给出的理想时钟与瞬时随动惯性系（momentarily co-moving inertial frame）里的时钟完全同步（请读者自行证明）[8]。由此，我们也得到了“加速度究竟会不会对时钟产生影响？”的答案，那就是加速度对理想时钟没有影响。
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细心的读者也许已经注意到了，上述理想时钟的定义其实正是前面提到过的时钟佯谬现代解释的要点，即“时钟记录的是自己的世界线长度”。时钟佯谬的现代解释之所以有极大的普适性，一个很根本的原因就是它实际上包含了理想时钟的定义。
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在本文的最后，给感兴趣的读者留两组思考题：
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（1）人们常说的“引力场中的时钟较慢”究竟是什么意思？把它与等效原理合在一起，是否会得出与“加速度对理想时钟没有影响”相矛盾的结论？
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（2）在理想时钟的定义中，只校正了加速度的影响，这是否是一种随意选择？能否把速度的影响也像加速度的影响一样校正掉？
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参考文献
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[1] Misner C W, et al. Gravitation[M]. New York: W. H. Freeman, 1973.
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[3] Sachs R K, Wu H H. General relativity for mathematicians [M]. Berlin: Springer, 1983.
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[5] Torretti R. Relativity and geometry[M]. NewYork: Dover Publications, 1996.
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2011年5月14日写于纽约
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[1]也称为时间膨胀（time dilation）效应。
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[2]我试图查找丁格尔对天文学的贡献，却没能找到。他最主要的天文活动似乎是参加了1927年与1932年的日食远征队，但两次都因天气原因无功而返。他被选为皇家天文学会主席一事，据说连他自己都觉得惊讶，因为自20世纪30年代后期起，他就已经离开天文学，转而研究自然哲学了。
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[3]不过，梁灿彬等人的著作多加了一个似是而非的论据，即认为三维加速度是相对的，四维加速度才是绝对的，以此反驳那种认为加速度也是相对的观点。其实，就该书所述的情形——即该书自己援引的第6.3节——而言，在对解释时钟佯谬来说最关键的加速度的“有”和“无”的区分上，三维加速度与四维加速度都是绝对的（理由很简单，相对于一个惯性系作加速运动的物体相对于任何惯性系都是作加速运动的，从四维加速度的分量表达式也可看出，四维加速度为零当且仅当三维加速度为零），对两者作相对与绝对的划分对于解释时钟佯谬来说不仅似是而非，而且毫无必要。
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[4]对于类空曲线来说，这种长度常被称为“固有长度”（proper length），对于类时曲线来说，则常被称为“原时”或“固有时”（proper time）。另外，闵科夫斯基空间常被称为“闵科夫斯基时空”。
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[5]本文对“参照系”和“坐标系”这两个术语只作粗略区分：意在强调与核心物理观察者（即那两个时钟或双生子中的某一个）的关系时用“参照系”，意在强调具体数学坐标时用“坐标系”。
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[6]在讨论本文的过程中，有网友提出了这样一个问题：为什么运动时钟参照系必须接受一个“不平等”的度规，而不能像静止时钟参照系那样，认为自己的度规是闵科夫斯基度规？在时钟佯谬的框架中，这是因为一开始就已假定问题发生在闵科夫斯基空间中，而所谓“静止”时钟与“运动”时钟的唯一合理的定义就是前者的世界线为测地线，后者的世界线为非测地线，而且两者都是——并且也只能是——相对于背景度规来定义的（相对论不是一个马赫式的理论，在相对论中与奥地利哲学家马赫所设想的遥远星体所起作用最接近的东西就是背景度规），这就保证了只有前者所在的参照系可以自始至终使用闵科夫斯基度规，后者则只能使用从闵科夫斯基度规（通过坐标变换）诱导出来的度规。
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不过，这也引出了一个更一般的问题，那就是闵科夫斯基度规的特殊地位是从何而来的？在狭义相对论中，这可以说是一个基本假设（或经验事实）。那么，广义相对论的情况是否会强一些呢？它是否能对闵科夫斯基度规的特殊地位做出“更物理”的说明（从而也对时钟佯谬作出“更物理”的解释）呢？很遗憾，答案是否定的，因为闵科夫斯基度规的特殊地位在广义相对论中也是基本假设，因为广义相对论所用的赝黎曼空间就是局部为闵科夫斯基空间的流形（这是等效原理的体现），其度规则是可以局部地由闵科夫斯基度规诱导出来的。实际上，按照我们在正文中所建议的类比思路，闵科夫斯基度规在相对论中的地位与欧几里得度规在普通黎曼几何中的地位是完全相似的，两者都是切空间中的度规，都是诱导其他度规的基石。广义相对论无法比狭义相对论“更物理”地解释闵科夫斯基度规的特殊地位（从而也无法“更物理”地解释时钟佯谬），就好比黎曼几何无法比欧几里得几何更充分地说明欧几里得度规的特殊地位。
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[7]有人也许要问：时钟佯谬的传统解释到底算不算错误？我的看法是，在各自针对的特例或近似下，它们作为理解时钟佯谬的辅助手段，谈不上错误。但它们是否称得上解释，则取决于对“解释”一词的理解，我个人认为它们起码不算是好的解释。
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