1700507200
不过，即使简化成3个微分方程，只有3个变量，也仍然无法求出精确解。庞加莱意识到，要解决问题，必须想出新的办法，不能“在一棵树上吊死”。既然无法求出精确解，那就放弃寻找精确解，开始定性地研究解的性质。庞加莱运用渐近展开与积分不变性的方法，定性研究小尘埃的轨道（如图10-12所示）。他深入研究小尘埃在所谓“同宿轨道”和“异宿轨道”附近的行为，但一直没有得到令他满意的结果，最后不得不在1888年5月，即瑞典国王奥斯卡二世悬赏求解N体问题的比赛截稿之前提交了他的论文。
1700507201
1700507202
1700507203
1700507204
1700507205
图10-12 小尘埃的轨道
1700507206
1700507207
奥斯卡二世悬赏的评审团成员包括当时3位鼎鼎有名的数学家：法国数学家查尔斯·赫米特(11)，德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯(12)和他的学生——瑞典数学家米塔-列夫勒(13)。尽管庞加莱没有完全满足奥斯卡二世悬赏的要求，没有解决N体问题，但他160页的论文仍然令评审团的3位数学巨匠兴奋无比。他们认为，庞加莱对三体问题的研究取得了重大突破，太阳系的相对稳定得到了确认。维尔斯特拉斯在给米塔-列夫勒的信中写道：“请告诉您的国王，这个工作不能真正视为对所求的问题的完善解答，但是它的重要性使得它的出版将标志着天体力学的一个新时代的诞生。因此，陛下预期的公开竞赛的目的，可以认为已经达到了。”奥斯卡二世也高兴地把“奥斯卡奖”——2500瑞典克朗和一枚金质奖章授予了庞加莱。
1700507208
1700507209
1889年冬天，评审团准备将庞加莱的论文在数学杂志上发表。文章已经印好，而且送到了当时最有名的一些数学家那里。就在这时，负责校对的一位年轻数学家发现文章中有一些地方的证明不够清楚，建议庞加莱补充一段解释。于是，庞加莱开始重新深入研究这一部分。
1700507210
1700507211
庞加莱发现，越是深入研究小尘埃的轨道在奇点附近的性质形态，问题就越多。情况有些类似80多年后MIT的气象学家洛伦茨（10.1节提到过）面对的困境。当然，庞加莱不如洛伦茨幸运，没有条件在计算机屏幕上显示奇异吸引子的曲线。但是，庞加莱却以他超乎常人的思维和想象能力在自己的头脑中构造出了限制性三体问题的某些奇特解的雏形。从解的奇特行为中，庞加莱看到了当今人们所说的“混沌现象”。但局限于当时的经典世界观，他未能完全理解得到的结果，只能带着迷惑感叹：“无法画出来的图形的复杂性令我震惊！”
1700507212
1700507213
庞加莱意识到，既然解的图形复杂得无法画出来，那么在原来的论文中，不仅包含像那个校对论文的年轻数学家所说的那种“证明不够清楚”的小问题，甚至可能包含“错误”。于是，他赶快通知米塔-列夫勒，收回已经印好的杂志并予以销毁，同时大刀阔斧地修改和赶写论文。直到第二年，1890年10月，庞加莱长达270页的新版论文才发表出来。
1700507214
1700507215
庞加莱庆幸对论文做了这一重要的修正。而且，正是这个“错误”，使庞加莱重新研究和思考方程的解的状况，改正了一个稳定性定理，并最终使他发现了同宿交错网。
1700507216
1700507217
庞加莱发现，即使是对简化了的限制性三体问题，在同宿轨道或者异宿轨道附近，解的形态也会非常复杂，以至于对给定的初始条件，几乎没有办法预测当时间趋于无穷时这个轨道的最终命运。而这种对轨道的长时间行为的不确定性，就是我们现在所说的混沌现象。
1700507218
1700507219
混沌现象的产生原因是：在解析解无法给出的情况下在迭代中使用数值解，并由于数值解精确程度的问题产生的求解收敛到不一致的值的问题。只要使用迭代的方式建模，并使用精度有限的数值作为初始值，这种现象就无法避免。直到今天，这个问题也是科学家们热衷研究的一类问题。
1700507220
1700507221
1700507222
1700507223
1700507224
数据科学家养成手册 [:1700503575]
1700507225
数据科学家养成手册 10.6 未知居然还能做预测
1700507226
1700507227
说了这么多，大概会勾起许多人的悲观情绪。混沌既然是一种客观现象，而且人类到现在都无法克服它，是不是意味着不能做预测了呢？
1700507228
1700507229
实际上，有这种情绪的人放大了混沌对预测的影响范围。要知道，在认知归纳的过程中，只要人们把足够多的因素放到模型中，经过相对精确的测算，进行相对短时间内的预测还是比较现实的。
1700507230
1700507231
不是因为别的，只是因为在短时间内，当初始值的给定误差足够小的时候，它的结果还不至于“偏”出太远。所以我们看到，现在很多基于科学的归纳认知方式进行的预报在短期内基本能够应验，例如未来1小时天气预报、未来24小时天气预报，以及近距离的交通流量预报（避免拥堵）等。在目前的计算能力和观测条件下，这些预测的准确性比较高。
1700507232
1700507233
即使不能以非常精确和确实的数字给出预测结果，也可以用基于统计的概率性结论给出预测结果，这同样对人类的生产和生活有意义，因此完全没有必要悲观。
1700507234
1700507235
1700507236
1700507237
1700507238
数据科学家养成手册 [:1700503576]
1700507239
数据科学家养成手册 10.7 本章小结
1700507240
1700507241
这一章的小结是非常难写的。混沌理论从正式提出到现在已经过去半个多世纪了，人们一直在尝试研究它。
1700507242
1700507243
在研究混沌现象的过程中，人们都是通过微分方程组或者动力方程去解析一个系统，而在这个过程中自然无法克服被引入的非线性因素及它们彼此叠加产生的效应。这也就导致用这种解析方式设立的系统模型会对初值非常敏感，当初值的某个向量有很小的变化时，在时间足够久的情况下，必然会引发预测的极大不准确性。
1700507244
1700507245
这不禁让我想起“随机事件”这种同样让人难以把握的事情。
1700507246
1700507247
随机事件是一种在观测中可能发生，也可能不发生的事情。随机事件有3个特点：第一，可以在相同的条件下重复进行；第二，每个试验的可能结果不止1个，并且能事先预测试验的所有可能结果；第三，进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
1700507248
1700507249
在我看来，不论是“随机事件”还是“混沌理论”，都是一种对事物发生规律的解释，而且都是在认知达到一定程度，在有限的感知维度中对世界作出的解释理论。我们再详细讨论一下对这些事情的认知方式。