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1700725630 至今,我们讨论的还是两个“振子”,或两个波之间的相干关系。如果“振子”或波的数目不是二,而是许许多多,甚至是无穷多个的话,那么情况又会怎样呢?在这种情况下,波的频谱就不再是分离的谱,像图14-4,不是那样的一根根孤立的直线,而是变成了图14-5那样的连续谱。
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1700725635 图14-5“白噪音”的频谱和“粉红色噪音”的频谱
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1700725637 图14-5中表达了两种不同的典型频谱。左边的称为“白噪音”(white noise),其特点是各种不同频率的振幅相似,也就是说,能量在各种不同频率的波中分布均匀。或者说,各振子之间没有什么耦合关系,即整个系统是处于理想的“无序状态”。
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1700725639 图14-5右边称为“粉红色噪音”(pink noise)或“1/f噪音”(1/f noise)。从“粉红色噪音”的频谱中,我们可以看出,能量已经从高频区移向了低频区。
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1700725641 最早,“粉红色噪音”是物理学家1926年研究电子线路时发现的,当时称为“1/f噪音”。后来,物理学家花了50年时间研究为什么会出现“粉红色噪音”,而不是“白噪音”。直到20世纪70年代,物理学家才发现,“粉红色噪音”来源于电子的集团运动。
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1700725643 而另一方面,音乐家则发现,所有古典音乐和民间音乐的频谱都近于“粉红色噪音”,而只有某些现代音乐才是接近“白噪音”。
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1700725645 从历史上来看,这种用频谱技术来分析音乐和噪音的方法并不新了,它是在两百多年前法国数学家傅立叶(Baron de Fourier,1768—1830)发明的。所以,人们把这种技术称为“傅立叶分析”(Fourier analysis)或“傅立叶变换”(Fourier transformation)。
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1700725647 可是,“傅立叶分析”的计算工作量极大,如果没有计算机,即使计算很小段音乐,也要计算几年,并不实用。然而,近30多年来,由于计算机技术的发展,“快速傅立叶变换”(FFT,Fast Fourier Transformation)终于变成一种实际上可以操作的技术。
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1700725649 “傅立叶变换”当然是非常了不起的发明。但是,即使“快速傅立叶变换”也只适用于音乐频谱的分析和相干程度的计算,但还不足于对人体内电磁波谱进行分析。因为音乐的频谱只在20~2000赫兹之间,但是,人体内的电磁波则是在0.5~1017赫兹。对于这样宽的频带,目前无法用任何现有的仪器同时测量出来,所以也无法用“傅立叶变换”来进行全面的分析。
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1700725651 幸运的是,物理学理论指出,人体的电导与内电场的强度成正比。而在很大的程度上,人体电导的测量可以在体表进行。这样,从技术的角度来看,测定人体内电场的分布就不太难了。同时,如前面章节所指出的,这种内电场的非均匀分布主要是由电磁驻波的叠加产生的,是一立体的干涉图。这样,我们就没有必要一一测量和计算电磁波的频谱,而可以在体表对这一电磁波的干涉图进行采样测定。
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1700725653 更幸运的是,多年来,数学家早就发展了许多处理采样数据的方法。这样就可以通过有限的采样数据,来认识一个具有无限多元素的系统。这种方法之一,称为“测量数据的概率分布”(probability distribution of measurement data )的计算。
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1700725655 图14-6就是两条人体电导测量数据的概率分布曲线。左边一条是被测试者听伤感音乐《二泉映月》时的“测量数据的概率分布”;而右边是听欢乐音乐《西班牙斗牛士舞曲》时的“测量数据的概率分布”。
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1700725660 图14-6听两种不同音乐时人体表面“测量数据概率分布”的变化
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1700725662 从图14-6可以看出,人体生理和心理状态的改变,对人内电场分布的影响极大。其实,这一点也是很好理解的。然而,难的是,这种“测量数据概率分布”的变化又说明了什么问题?我们怎样从这种“测量数据概率分布”的变化中,来看出“身心健康”的程度如何?
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1700725664 三种理想的概率分布曲线
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1700725666 有趣的是,我们前辈的数学家,早已找到了三种不同的“概率分布曲线”。今天,我们正好用来描写三种不同的“身心状态”(states of body-mind system)。
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1700725668 “高斯分布”:1+1=2(理想的无序系统测得的概率分布)
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1700725670 在欧元出现之前的德国货币中,10马克的纸币上印着一个老人的头像,那就是高斯(Karl Friedrich Gauss,1777—1855,图14-7),19世纪的“数学之皇”。高斯出生在一个贫穷的农民家庭,小时候是个放羊娃。幸运的是,一位有钱的贵族发现了他的数学天赋,就有心培养他,最后,他不但成了哥廷根大学的数学教授,还成了世界数学之王。所以,他也成了德意志民族的骄傲。在他极多的数学成果中,最值得骄傲的就是他所发现的“高斯分布曲线”及它的数学表达式(图14-7)。
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1700725675 图14-7德国马克上的高斯像、高斯分布曲线及其数学公式
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1700725677 从图14-7中可以看到,“高斯分布曲线”是一条对称曲线。近两百年来,“高斯分布”(Gaussian distribution)在科学、工农业和金融等领域中广泛应用。所以,“高斯分布”又被称为“常态分布”或“正态分布”(the normal distribution)。意思是,它是一种应用最广泛并且最为标准的测量数据分布。
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1700725679 然而,近二三十年来当人们对“有序”、“无序”、“混沌”等问题进行越来深入研究时才发现,原来,理想的“高斯分布”在真实的世界根本就不存在。因为“高斯分布”的基本数学假设是,测量数据来自于一个有无限多个元素的系统,并且所有的元素相互独立。换句话说,服从“高斯分布”的测量数据来自于一个“理想的无序系统”。而显然,这样的“理想的混沌系统”并不存在。尽管如此,“高斯分布”还是无生命世界中测量数据分布的一个很好的近似描写。它还是很有用的,因为无生命世界基本上还是混沌、无序的。
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