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图14-10理想的“对数正态分布曲线”来自一个理想的相干系统，即最谐和的系统
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“对数正态分布曲线”是一条非对称的曲线，有点像“高斯分布曲线”，但是峰值偏向左边（比较图14-10和图14-8）。长期以来，人们并没有充分注意到“对数正态分布”的重要性。
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1969年，德国数学家沙哈（L. Sach）发现，许多生理指标，如人群的血压分布、人群的身高分布、青蛙的体重分布等等，都不服从“高斯分布”，而是服从“对数正态分布”。这显示“高斯分布”主要来自于无生命系统，而“对数正态分布”则与生命系统有关。
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1994年，本书作者从数学上证明了“对数正态分布”来自一个具有无限多元素的系统，在这个系统中，每一个元素都具有独立性，而同时又具有与所有其他元素合作的可能性。也就是说，如果测量数据出现“对数正态分布”，就表示这个系统处于理想的相干态，即最谐和的状态，犹如美丽的芭蕾舞。也就是说，这时1＋1＝3。
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这一来，音乐的“谐和”和芭蕾舞的“美丽”等等，再也不是一种模模糊糊的艺术单词，它们也开始进入可以被客观测量、被定量计算和评估的科学领域。
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“无穷维空间”与“谐和金字塔”
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现在，我们已经讨论了系统的三种典型的状态：“无序态”、“有序态”和“相干态”。我们也讨论了三种不同的基本数学运算：“1＋1＝2”、“1＋1＝1”和“1＋1＝3”。我们还讨论了三种不同的“概率分布”：“高斯分布”、“δ分布”和“对数正态分布”。从而我们知道了这三种不同状态的数学基础和统计方法。
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然而，这三种状态，都只是理想的状态，而一个真实系统的实际状态与这三种理想状态都不一样（见图14-6），或者说是，往往是在这三者之间。当然，我们可以粗略地说，图14-6左边的曲线靠近“高斯分布曲线”，而右边的曲线靠近“对数分布曲线”。但是，从科学和数学的角度来看，这个“靠近”是一种很不精确的描写。我们希望知道，这个“靠近”到底有“多远”，到底有“多近”？是几千米远呢？还是几厘米近？还是几毫米近？
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于是，我们就面临另一个很实际的计算问题，即要确定一个实际系统所处状态的精确“位置”（position），这样才能定量地算出“多远”或“多近”。
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而要确定一个“位置”，我们首先就要有一个明确的“距离”（distance）。通常我们所说的距离是指两个点之间的某种度量。但是，要说出这出芭蕾舞离最美的标准还有多少远的“距离”，真有点匪夷所思。即使我们现在有了分布曲线，但每一条曲线上又有无穷多个点。那么，我们又怎样来计算两条弯弯扭扭的曲线之间的“距离”呢？
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非常幸运的是，我们那位德国哥廷根大学的高斯教授，世界数学之王，有一位非常杰出的接班人，名为希尔伯特（David Hilbert，1864—1943，图14-11）。他早就为我们解决了这个极为复杂的“距离”的计算问题。
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希尔伯特教授不愧是高斯的好接班人，他也成了一代世界数学之王，还成了20世纪这整整100年数学发展的指路人。可能许多中国读者都还记得著名的“哥德巴赫猜想”。为了解决这个难题，中国的著名数学家王元教授和陈景润教授都付出了毕生的精力。然而，“哥德巴赫猜想”还只是希尔伯特在20世纪初列出的23个难题之一。事实上，希尔伯特提出的这23个难题，包括“哥德巴赫猜想”、“黎曼猜想”、“连续统问题”等等，这些问题成了20世纪全世界数学发展的导航图。
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图14-11大卫·希尔伯特德国数学家和“无穷维空间”研究的奠基人
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与高斯一样，希尔伯特也在数学上有许许多多的贡献。他最重要的贡献就是“无穷维空间”（infinite dimensional space）的引进，现在也称为“希尔伯特空间”（Hilbert space）或“函数空间”（space of functions）。在这个空间中，我就可以定义函数之间的“距离”，也称为“广义距离”（generalised distance）。任何一条曲线，包括前面讨论的“概率分布曲线”，都是含有无穷多个点的函数，所以，都可以在这“函数空间”中，变成对应的数学点，所以，也就可以很确切地算出任两条曲线之间的“广义距离”。
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那么，什么是“无穷维空间”中的“广义距离”呢？我们可以从“一维空间”开始。用数学家的语言来说，一条直线就是“一维空间”。直线上两点的距离是很好算的，只要知道这两个点在这个“一维空间”坐标上的两个数字，减一下就出来了。
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而一个平面，例如一张纸，就是一个“二维空间”，只要知道这平面上两个点分别在纵坐标和横坐标上的数值，也是不难计算它们之间的距离的。
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我们的房间是一个“三维空间”，如果要知道两个点之间的距离，就要先知道它们各自在三个坐标上的数值，就可以计算了。这种算法，每位读者在中学时就学过了。
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根据同样的原理，我们也可以有“四维空间”，又称为“闵可夫斯基空间”（Minkowski space），因为那是德国哥廷根大学的闵可夫斯基（Hermann Minkowski，1864—1909）教授发现的，闵可夫斯基是希尔伯特同事，也是一位极有才华的数学家，与希尔伯特教授同年，可惜英年早逝。事实上，“希尔伯特空间”就是“闵可夫斯基空间”的发展。
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不过，对于非数学家来说，“四维空间”已经有点怪异的感觉了，因为在我们的房间里，已经放不下第四个坐标。事实上，在最初，科学家们也认为“四维空间”只是数学家发明出来的思想游戏，不会有什么实际用处。但是不久，在爱因斯坦发展相对论的时候，它就派上了大用处。
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另一方面，计算“四维空间”中两点之间的距离倒也不难，只不过每一个点有四个坐标数据。其他方面的计算就与三维空间中的距离计算一模一样了。
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这一来，根据同样的数学原理，我们就可以很容易地建立“四维空间”、“五维空间”、“六维空间”、“七维空间”……“N维空间”，以至“无穷维空间”，也就是“希尔伯特空间”。
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同样，在“希尔伯特空间”中，我们也可以定义两个点之间的距离。有趣的是，“希尔伯特空间”中的“点”，有无穷多个坐标值。所以，有了这位伟大数学家的帮助，我们就可以定量地计算出一个人实际的身心健康状态与理想状态之间有的“距离”到底有多远了。
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当然，为了算出精确的位置，除了“距离”之外，我们还需要建立一个“坐标系”（coordinate system）。所以，我们还要在“希尔伯特空间”中建立一个合适的坐标。由于在“希尔伯特空间”中，一个函数被压缩成一个数学点。所以，我们前面讨论过的三个理想状态就可以被压缩成三个数学点。并且用这三个数学点来建立一个特殊的坐标系统。
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