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[5].近些年来，广义相对论在极端环境实验中得到了证实。在这些实验中，质子被加速到了光速的99.999%，这是一个让人难以置信的超快速度。在这样高的速度下，相对论效应变得非常重要。粒子所携带的能量是它静止质量的100亿倍。如果这些实验的结果否认了相对性原理的有效性，我丝毫不会感到惊讶。许多量子引力理论预言，相对性原理会在这样高的能量尺度失效。还有些新近的观测证实了，所有光子确实在以相同的速度运动。这些观测的精度如此之高，以至于它们能测出一对光子在一起旅行了100亿年后，两者间是不是隔了一秒钟的距离。一些量子引力学家预测，光速会随着光子的能量变化。以上观测结果令他们失望。另有一些高精度的观测证实，中微子的速度不可能超过光速。（这些观测与所谓超光速中微子的报道同时发生，后者是2011年世界各地的头条新闻。）
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[6].人们还提出过许多其他方法在广义相对论中定义最佳时间。到底哪种定义对，这终究是个科学问题，最终还要由今后物理学的发展决定，或许会由实验观测决定。在此，就让我们假设最佳时间存在，而不细究它的具体定义。以下列举了其他一些最佳时间的定义方法：Chopin Soo&Hoi-Lai Yu，“General Relativity Without Paradigm of Space-Time Covariance：Sensible Quantum Gravity and Resolution of the Problem of Time”，arXiv：1201.3164v2[gr-qc]（2012）；Niall Ó Murchadha, Chopin Soo，&Hoi-Lai Yu，“Intrinsic Time Gravity and the Lichnerowicz-York Equation”，arXiv：1208.2525vi[gr-qc]（2012）；George F.R.Ellis&Rituparno Goswami，“Space Time and the Passage of Time”，arXiv：1208.2611v3（2012）。
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[7].Henrique Gomes, Sean Gryb，&Tim Koslowski，“Einstein Gravity as a 3D Conformally Invariant Theory”，arXiv：1010.2481v2[gr-qc]（2011）.
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[8].由于一些技术上的原因，这一对偶被称为“反德西特/共形场论对应”（AdS/CFT）。
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[9].想要了解更多形状动力学的读者可参阅本书的在线附录。
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[10].在本章的开头，我提到广义相对论在对称时空下有些特别的解。这些解中包含绝对静止状态，因而也包含最佳时间。本章中的最佳时间与之不同。前文的最佳时间局限于广义相对论中的一类特殊解；本章中的最佳时间由形状动力学生成，它广泛存在，不需要时空具有对称性。形状动力学中的时空需要满足一个比较弱的约束条件，即可以对时空进行固定平均曲率切割。在将形状动力学应用于宇宙时空的过程中，我们不会受这一约束条件的阻碍。在形状动力学中，时间是全局的，也是动态的，它是由物质和引力场决定的。因此，我们并没有倒退回牛顿的绝对时间。大致来说，我们总是将时空依照最小的曲率分割。从某种意义上看，这很像肥皂泡。最小表面曲率决定了肥皂泡的形状，最小时空曲率决定了时空的切片。
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[1].当我们告诉Saucier+Perrotte设计所的建筑师黑板应占多少空间时，他们提议让整栋建筑盖满石板和玻璃，这样就能让我们在上面尽情书写。
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[2].这方面最新的综述，参见：J.Ambjørn et al.，“Nonperturbative Quantum Gra-vity”，arXiv：1203.3591v1[hep-ph]（2012）；“Emergence of a 4-D world from Causal Quantum Gravity”，Phys.Rev.Lett.93（2004）131301[hep-th/0404156]。
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[3].Fotini Markopoulou，“Space Does Not Exist, So Time Can”，arXiv：0909.1861v1[grqc]（2009）.
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[4].Tomasz Konopka, Fotini Markopoulou，&Lee Smolin，“Quantum Graphity”，arXiv：hep-th/0611197v1（2006）；Tomasz Konopka, Fotini Markopoulou，&Simone Severini，“Quantum Graphity：A Model of Emergent Locality”，arXiv：0801.0861v2（2008）；Alioscia Hamma et al.，“A Quantum Bose-Hubbard Model with Evolving Graph as Toy Model for Emergent Spacetime”，arXiv：0911.5075v3[gr-qc]（2010）.
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[5].Petr Horava，“Quantum Gravity at a Lifshitz Point”，arXiv：0901.3775v2[hep-th]（2009）.
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[6].T.Banks et al.，“M Theory as a Matrix Model：A Conjecture”，arXiv：hep-th/9610043v3（1997）.
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[7].一些专家会指出，体积和表面积都不是可观测物理量，因为它们不具有时空微分同胚不变性。但在某些情况下，体积和表面积确实是物理的。一种可能是，时空边界的微分同胚是固定的；体积和表面积可能是边界的属性。另一种可能是，时间的规范是固定的；在这种情况下，演化的物理描述可由哈密顿量产生。
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[8].这方面的例子参见：Aurelien Barrau et al.，“Probing Loop Quantum Gravity with Evaporating Black Holes”，arXiv：1109.4239v2（2011）。
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[9].“随时间演化”到底随的是什么时间呢？随你怎么定义时间！在圈量子引力中，时间的选取是任意的，这个理论是广义相对论的量子化；而在广义相对论中，时间的选取是任意的，这反映出广义相对论的多指性。
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[10].在最早的圈量子引力中，人们认为图局限于性质极为简单的三维空间。我们没有固定诸如长度、面积、体积这样的可测量量，但我们固定了空间的维度，连通性以及拓扑性质。（这里，“拓扑”指空间黏在一起的方式。当空间的几何被连续扭曲时，拓扑性质将保持不变。）
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我们可以通过一些例子很好地对拓扑加以阐释。最简单的是二维的例子。考虑一个封闭的二维表面，它可能是个球面，也可能是个环面（甜甜圈的样子）。你可以光滑地将一个球面变成其他许多形状，但你不可能光滑地把球面变成环面。如果一个甜甜圈有多个洞眼，那它又代表了一种不同的二维拓扑。
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在固定了空间的拓扑之后，我们还要考虑将图嵌入空间的不同方法。举例来说，我们可以将图的两条边打上结，也可以把它们编成辫子，也可以用其他方法将它们相连。不同的嵌入方法将导致不同的几何量子态（尽管在最近的量子引力工作中，人们不再通过嵌入来定义图）。
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[11].这方面的例子参见：Muxin Han&Mingyi Zhang，“Asymptotics of Spinfoam Amplitude on Simplicial Manifold：Lorentzian Theory”，arXiv：1109.0499v2（2011）；Elena Magliaro&Claudio Perini，“Emergence of Gravity from Spinfoams”，arXiv：1108.2258v1（2011）；Eugenio Bianchi&You Ding，“Lorentzian Spinfoam Propagator”，arXiv：1109.6538v2[gr-qc]（2011）；John W.Barrett, Richard J.Dowdall, Winston J.Fairbairn, Frank Hellmann, Roberto Pereira，“Lorentzian Spin Foam Amplitudes：Graphical Calculus and Asymptotics”，arXiv：0907.2440；Florian Conrady&Laurent Freidel，“On the Semiclassical Limit of 4d Spin Foam Models”，arXiv：0809.2280v1[gr-qc]（2008）；Lee Smolin，“General Relativity as the Equation of State of Spin Foam”，arXiv：1205.5529v1[gr-qc]（2012）。
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[12].从技术角度来看，它们是三维流形的三角刨分的对偶。
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[13].Fotini Markopoulou&Lee Smolin，“Disordered Locality in Loop Quantum Gravity States”，arXiv：gr-qc/0702044v2（2007）.
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[14].多年以来，我断断续续地围绕这一想法展开了研究。参见：
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Markopoulou&Smolin，“Quantum Theory from Quantum Gravity”，arXiv：grqc/0311059v2（2004）；Julian Barbour&Lee Smolin，“Extremal Variety as the Foundation of a Cosmological Quantum Theory”，arXiv：hep-th/9203041v1（1992）；Lee Smolin，“Matrix Models as Nonlocal Hidden Variables Theories”，arXiv：hepth/0201031v1（2002）；
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——，“Quantum Fluctuations and Inertia”，Phys. Lett.A，113：8，408-12（1986）；
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