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这里我们稍深一步说：中国古代采用怎样的方法来决定冬至、夏至、春分、秋分和一个回归年的长度呢？回归年古称岁实，或称岁周，或称为岁。它的观测与计算方法一般分为两种：
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第一种采用较早，是从观测太阳和恒星的关系来决定的。古人称为“考月令之中星”。观测的工具是“望仪”或“衡管”。在日没后三刻黄昏时，或日出前三刻早晨时，观测哪一星座恰在南天。这样进而推测太阳运行的视位置所在。古人观测太阳的视位置是在“牛”星的旁边，即“牵牛初度”，称为“冬至点”。古时以为太阳每年的冬至点，总在这个地方。实际太阳运行，次年不是回复原处，而是不到原处一些。这种差距很小，一时不易觉察。冬至在牵牛初度，这是周末六历创造时所测的天象。《续汉书》引刘洪说：“甲寅之元（即殷历）天正甲子朔旦冬至，七曜之起始用牛初。”到了造太初历时，冬至点已经移到斗宿的范围。这现象汉时有的学者已经觉察，有的却还没有。东汉张衡就很明确地指出：“太初”“冬至日直斗，而云在牵牛。迂阔不可复用。昭然如此，史官所共见”。蔡邕也说：“史官用太初邓平术，冬至之日，日在斗二十二度。”这个发现，东晋虞喜称为岁差。南朝祖冲之首先将岁差的计算引进历法，并将恒星年与回归年区别开来。
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第二种是从太阳和地球的关系来决定的。古人称为“测二至之日影”。每年太阳位于地球极南的时候，即太阳在黄道上距赤道南最远的地方，如在日中立一表竿，它的影子在一年中是最长的，称为冬至，或日南至、日长至；位于极北的时候，即太阳在黄道上距赤道北最远的地方，影子最短，称为夏至，或日短至；在不南不北的赤道上的时候，每年也有两次——一为春分，一为秋分。运用这种方法来决定节气和回归年的长度是合理的。古时分一年为四节，嗣后逐渐发展为24节气。那么，这一年中24节气和时间的差距，和日影长短的差距是相等还是不相等的呢？古人初以为是相等的，用此划分节气，称为平气；嗣后，发现是不相等的，用以划分节气，称为定气。
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太阳在黄道上运行，古称日躔；月亮在白道上运行，古称月离。那么，太阳、月亮和五星的运行距度是相等的，还是不相等的呢？古人初也以为是相等的，即平行的，或等速的。东汉贾逵始用黄道铜仪以测日月运行，确证月亮运行的速度是不均匀的，是有时快，有时慢的，他用的术语称为“月行迟疾”。他观测到月亮近地点时移动很快，从而提出“九道术”来，用以记录和显示这种运行。刘洪也曾看到这个现象，他就提出意见：以日月平行速度来计算日月合朔，这是和实际天象不符的。月行迟时，用平行计算，月还没追及日，而朝见东方，称之为朓。月行疾时，用平行计算，月追过日，而夕见西方，称之为眺。刘洪结合“月行迟疾”的自然天象，用以变革历法，作《乾象历》。他确定黄白交角和月球在一个近点月内每日的实行度数，使朔望和日月食的计算前进一大步。魏杨伟作《景初历》。他发现了黄白交点的移动；同时，了解到交食之起不一定要在交点上的，在食限以内是都可发生的。于是更定刘洪的月行迟疾历，以计算日月合朔及交会。北朝张子信住在一个海岛上，他对太阳进行了三十多年的观测，发现太阳的视运行也是有时快和有时慢的。他提出的术语，称为“日行盈缩”。五星的运行也是不均匀的。合朔时月在黄道南或黄道北会影响日食，而月食无此现象。由于日、月、五星运行不均匀性的发现，促使隋唐时期天算学的飞跃发展。张子信利用等差级数求和的办法编制一个会合周期中的行星位置表，对行星运行的计算提高一步。隋刘焯作《皇极历》，首先运用等间距二次内插法来计算它。李淳风在隋刘焯《皇极历》的基础上，给以改进，造《麟德历》，采用定朔来安排历日。计算日月食时考虑日月运行的不均匀，用以安排日历。这个办法，宋何承天已经提出，由于习惯势力的阻挠，未能实现，到此才得成就。唐朝中叶著名天文学家僧一行重加整理，创设不等间距二次内插公式进行计算。这种计算都见于他所编制的《大衍历》中。晚唐时徐昂编造《宣明历》，把一行的不等间距内插公式进行简化。在欧洲，内插法首先被英国天文学家格利高里采用；嗣后，牛顿进一步把它推广。徐昂的内插公式，近于牛顿所用的公式，算法更为进步，也就更为符合于天象。几经演进，到元郭守敬创制《授时历》时，他集合诸家历法的大成，设立三次差内插法，用以计算日躔、月离和五星运行，所得的日月行度的数据，几与今日的科学成就密合。
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中国历法自黄帝历至授时历计93历，再加自回回历至天历9历，共102历，屡经衍变发展，却是一脉相承的。它的成就与特色前修未密，后出专精，又是愈演愈密的。所以有此巨大成就，实是得力于科学方法——天算之学的测与算两者啊。
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（原载《古今谈》，浙江省文史研究馆编，1997年第3期，总43期。本篇有删节）
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古代天文历法释证 [:1700880782]
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古代天文历法释证 天文学说西学东渐考
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欧洲天文学和数学的兴起及其特色与中国的天算之学是各异其趣的。他们对待大自然的天体结构和人类所接触的物体的几何图形一上来就是重视它的理论上和逻辑上的探索与研究。这些探索与研究一时未必就和人们的日常生活即与农业生产相结合，而是为其政治与经济效益服务的。就这点说，欧洲的天文学和数学与中国的天算之学是分道扬镳的。为了说明这个问题，这里需要对它的兴起略予回顾与说明。
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公元前3世纪，古希腊的数学大师阿基米德对于曲线图形及曲面体的面积与体积就已作了研究。研究它的抛物面、双曲面与椭圆面和圆柱、圆锥与半球的关系；此外，还研究螺线。公元前至2世纪，古希腊数学家阿波罗尼发表了八本《圆锥曲线学》，这是世界上最早的关于椭圆、抛物线和双曲线的一部杰出著作。公元前440年，古希腊默冬发现月球的位相，作为一个周期19年重复出现在阳历的同一日期。公元前5世纪，古希腊欧多克斯提出日月星辰绕着地球作同心圆运动的主张。公元前5世纪，古希腊巴门尼德、德谟克利特论证大地是球形的，认为金星的晨星和昏星是同一颗星，提出银河是由许多恒星密集组成的。公元前5世纪，古希腊阿那萨古腊提出月食的成因，认为月球是因反射太阳光而明亮的。公元前4世纪，古希腊亚里士多德发表《天论》一书，提出地球中心说。公元前4世纪，古希腊德谟克利特提出宇宙的原子旋动说，认为宇宙空间是由无数个旋动着的、看不见的、不可分割的原子组成的。公元前3世纪，古希腊埃拉托色尼第一次用天文观测推算地球的大小。古希腊亚里斯塔克第一次测算太阳和月球与地球距离的比例，提出太阳是宇宙的中心和地球绕着太阳运转的主张。这就概括地可以说明欧洲很早就是重视天文学和数学的理论研究的。这些研究偏重于理论的阐发，并不是从观测和推算起步，直接为制订历法服务的。
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公元前46年，罗马颁行儒略历。在罗马为709年1月1日，当汉元帝初元三年十一月二十九日。儒略历采用的是阳历，它的制订及其源流和中国古代天体历的雏形及其源流也是十分不同的。欧洲天文学和数学的成就通过印度佛教的东渐在隋唐之际开始部分传入中国。当时中国学者对于外来学术、天文历算诸方面未能正确对待，今天看来是存在问题的。这个问题值得我们重视和研究。这里，需要略予论述。例如，在唐开元间，僧一行（张遂）在编撰大衍历前，印度的天竺历法已经输入。这历称为“九执历”。《新唐书·历志》说：开元六年，诏太史监瞿昙悉达译之。瞿昙悉达遂编《开元占经》。其中104卷就曾详载九执算法，中有“三角函数的正弦表”，这是中国算术中的一个空白。运用三角函数计算黄赤大距，这比中国原来取经于勾股之法，要方便和精确得多。就这点说，它是深受当时和后来的历家和史学家的歧视和排斥，难于接受和推行。例如唐僧一行和宋欧阳修之流，认为此学来自异域，名数诡异不可为法。僧一行制订大衍历，未能参考九执历的长处，补其不足。宋欧阳修纂修《新唐书·历志》没有采取刘羲叟的建议，将九执历法补写入《新唐书·历志》中。九执历术从此湮没无闻，直到清顾观光撰《九执历解》，开始替它阐发与表彰。
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梵历日最高恒在夏至前十度，而回历有最高行。梵历月止一小轮，而回历益以次轮。欧罗巴又益以次均轮。梵历推盈缩迟疾差，及日月距纬，并用正弦比例，而回历用平三角、弧三角法。梵历影差止轮月高卑，而回历兼论日高卑。梵轮日食止有南北差，而回历更有东西差。此皆屡测屡推，由疏入密，而苟非有前之疏，无以得之密也。
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九执历中有三角函数的正弦表。这里可以举例说明。如：推月间量府命，译成中历为“去交度的正弦”。这是梵历的长处，可为中国历法的补白。它的推算日月盈缩迟疾差及距纬的方法，可为中国历学开辟新的途径。但是当时的历学大师一行只知深闭固拒，舍而勿用。却有几个“小人物”如陈玄景等潜心研究。由于他们“官卑职微”，受到“执政诸公”的痛斥，诬为“以惑当时”，遭到不白之冤。运用三角函数作为造历的基本算法，这真是中国历算中所缺的，有何不可！这时一行潜心于二次差内插法和等差级数的计算，对此无动于衷。反对的理由只是因为九执历是外来的，便受歧视；可是他不想想：印度佛学不也是外来的吗？可谓厚此薄彼。这个经验教训，在中国历学发展史上吃了大亏，是应该吸取、剖析与检讨的。
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当然，有价值的东西是不可能全被保守的人抹煞的。九执历提出的“随方眼”，认为地平经纬是随地不同的；一行受此启发，提出测量九服日晷，阐明北极的出地高度，是受到它的影响与得其好处的，只是一行不愿认罢了。九执历求黄白交宫，自昇交始，称为“阿修”，也称“阿修罗”。唐代以后在历法上称道的罗，计都之名，即始于斯。一行依阿修，测量九道月行，以定罗计周天。大衍历法，推为唐历冠冕。他独于九执历的三角函数，废弃不用，同时还要严肃批评陈玄景等小人物的正确研究。这点史书上因此对他也有非议，评论：“一行写其术未尽，妄矣！”今天，我们对于这个问题是看得清楚的。《新唐书》对于陈玄景的科学研究，未能正确对待，是应予平反，表彰他的实事求是的治学精神的。三角函数在中国未能早日推行，直到元郭守敬撰《授时历》，还是吃了大亏。痛定思痛，奉告负有声望的权威学者，学术是天下公器，应该虚怀若谷，以学术为重，有这肚量，接受这一教训。
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根据朱文鑫的考订：九执历译于唐时，却为印度的古历。九执历谓：“春分为羖首，秋分为秤首。”羖首为西法的西羊第一点，秤首即西法天平第一点。春分在白羊，秋分在天平，遵循岁差术来考证，距今已经2000余年。公元前134年，即汉元光元年，这与《汉书·律历志》所述的春分点在娄是相合的。欧洲历学，从希腊、阿拉伯遍及罗马，由东而西；梵历则为历法东西交流的一大关键。九执历中“日月皆有小轮”，“日食用黄平象限定南北差，亦有周径密率，亦用弦切二线”，由此可以窥测梵历与希腊和欧洲诸国历法的关系。九执历传入中国，实为中西文化交流中在利玛窦前西历传入中国的一件大事。只是由于中国古时学者不予重视，视有若无，这是中国学术史上的一大憾事。明清之际，西学东渐，利玛窦等对于这事当然没有认识，还说，他们把西学传入中国是第一次，居于首功的。徐光启和李之藻，号称博雅之士，可也没有发觉，以耳代目，随声附和；却不知道历史事实不是这样的。
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欧洲历学传入中国，是有它的蛛丝马迹可寻的。《隋书·经籍志》中已经载有印度天文学和印度数学著作的中文译本三种：《婆罗门算法》三卷、《婆罗门阴阳算历》一卷、《婆罗门算经》三卷。只是可惜这些译书早已失传。《开元占经》所述九执历中涉及数学知识的还有：①圆弧的量法，其中介绍希腊人的量法，把圆周分为360度，每度分为60分。②正弦函数sinx表。这个表的间隔为3°45′，由0°至90°恰好分为24段，给出24个正弦函数值。③印度数码。是十进位制的数码。为今日世界通行的阿拉伯数码的起源。《新唐书·历志》说：“（九执历）其算皆以字书（笔算），不用筹策。其术繁碎，或幸而中，不可以为法；名数诡异，初莫之辨也。”这可说明那时的中国有些学者保守思想严重；但也可以说那时的西学早已传到中国来了。
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明末欧洲耶稣会传教士来到中国，传授西学该是第二次了。这时恰值中国天算之学处于低潮。意大利人利玛窦于1582年来华，了解到中国开明的士大夫饶于新知识的要求，多次向罗马教皇报告，派遣娴于天文学等学科的传教士来华，介绍和翻译欧洲科学知识和科学著述。在传教士与中国士人的合作之下，分别出版了许多著述。1607年，李之藻撰《浑盖通宪图说》2卷，嗣后梅文鼎又作订补1卷。李氏曾谓：“窃疑为周髀遗术，流入西方。然本书黄道分星之法，尚阙其半，故此器甚少。盖无从得其制也。兹为完其所阙，正其所误，可以依法成造。”1611年，西洋人熊三拔撰《简平仪说》1卷。徐光启序：“其法用上下两盘。天盘在下，所以取赤道经纬，故有两极线、赤道线、节气线、时刻线；地盘在上，所以取地平经纬，故有天顶，有地平，有高度线，有地平分度线。”“天盘用方版，上设两耳表，以测日影；地盘中心系坠线，以视度分，立用之可以得太阳高弧度，既得太阳高弧，则本时诸数，亦皆可取。盖是仪写浑于平，如取影于烛；虽云借象，而实数出焉。弧三角以量代算之法，实本于此。”1614年，西洋人熊三拔撰《表度说》，认为“地球在天之中”。《郑堂读书记》云：“其书因土圭旧制，变为捷法，可以随意立表，分五题以明其说：第一题日轮周天。上面天，下向地。其转于地面俱平行，故地体之景亦平行。第二题地球在天之中。第三题地球小于日轮，从日轮视地球止于一点。第四题地本圆体。第五题表端为地心。盖以西洋天圆地亦圆，及地球小于日轮之说，讲古算术者多非之，故先即表度之易见者，立说证明，于测日为独详焉。”1615年，西洋人阳玛诺撰《天问略》。《四库全书简明目录》云（指《天问略》）：“于诸天重数，七政部位，太阳节气，昼夜永短，交食本原，地影粗细，蒙气映漾，朦影留光，皆设问答，以明其理。末载朦影刻分表，及交食浅深图说，亦颇说明。”谓日天本动，与利西泰《乾坤体义》议论相似。1626年，日耳曼汤若望撰《远镜说》。《远镜说》介绍伽利略式的望远镜。《天问略》介绍多禄某体系的十二重天，和伽利略用望远镜所观测到的新成果。
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中国士人从耶稣会士学习欧洲天文学的计算方法。万历三十八年（1610年）徐光启预报该年十一月朔（12月15日）日食，他的观测和证明比较准确，引起学者的重视。崇祯二年五月初一日日食，钦天监推算晷刻不合，明政府决心改历，命礼部左侍郎徐光启在北京宣武门组织百人开设历局，李之藻、王应麟和西洋人罗雅谷、龙华民、邓玉函、汤若望同修，历时六年九月，成《崇祯历书》137卷，一名《西洋新法历书》。《明史·艺文志》载126卷，《历志》作130余卷，明徐光启等督修，李天经续成。《四库》著录100卷，内府藏本104卷，汤若望重订。今有四库全书本、明崇祯元年刊本103卷、十六年刊本73卷、顺治二年刊本、康熙十七年补刊明崇祯97卷本。《崇祯历书》采用第谷宇宙体系及其几何学的计算系统，引入地球和地理的纬度概念，应用球面三角学，采用欧洲通行的变量单位，分圆周为360°，分1日为96刻，24小时，度和时以下采用60进位制。
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《崇祯历书》于1634年编成，未及颁行，明亡。1644年清军入关。《清史稿·时宪》载：“顺治元年十一月，若望以明大学士徐光启所译《崇祯历书》改名新法历书。”计103卷。
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治历缘起八卷，奏疏四卷，八线表一卷，日躔表一卷，月离表四卷，五纬表十卷，交食表九卷，恒星纬表二卷，新历晓或一卷，学历小辨一卷，测量全义十卷，远镜说一卷，日躔历指一卷，月离历指四卷，五纬历指九卷，恒星历指四卷，交食历指七卷，恒星出没二卷，古今交食考一卷，黄赤正球二卷，浑天仪说五卷，测天约说二卷，大测二卷，几何法要四卷，新法历引一卷，历法西传一卷，新法表异二卷，筹算一卷，测食略二卷。
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《崇祯历书》前后印补三次：崇祯初版，顺治二年补刊本，康熙十七年又补刊本。103卷为顺治二年的补刊本。徐光启与李天经五次呈进的历书为137卷，崇祯时未完全付梓。所刻若干，今难查考，惟今尚存顺治二年汤若望新历告成一疏，可资参考。“臣阅历寒暑，昼夜审视著为新历一百余卷”，“臣谨捐资剞劂修补全书恭进御览”。奏末有“计开进《西洋新法历书》一百卷，十三套”。顺治二年十一月十九日上。[83]版刻先后不同，历史记载从而有所出入。
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汤若望呈《西洋新法历书》，清政府遂命汤氏任钦天监临正，用“西洋新法”编算民用历书，题名《时宪历》，于顺治二年颁行。康熙间撰《历象考成》，以康熙二十三年甲子（1684年）为历元，又名甲子元历。岁实采用第谷测定。雍正初西人戴进贤等修日躔月离表。乾隆初撰《历象考成后编》，以雍正元年癸卯（1723年）为历元，故名癸卯元历。岁实采用牛顿测定。时宪历行用98年（1644年—1741年），癸卯历行用170年（1742年—1911年）。自清顺治元年至宣统三年（1644年—1911年）共计行用268年。
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1659年，比人南怀仁来华，1660年5月9日奏召进京，助汤若望修历。杨光先掀起教案，南怀仁、汤若望、利类思、安文思皆系刑部狱。旋得平反，康熙十三年三月奏命制造六件大型第谷式古典仪器，写说明书《灵台仪象志》14卷，在北京印行。仪器今尚存于北京古观象台。
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