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量子宇宙 [:1700921901]
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量子宇宙 用钟的理论来推导海森伯的不确定性原理
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不同于先前针对开始于单点位置的单个粒子，我们将考虑“大致知道粒子位置但不知道它究竟在哪”的情形。如果知道一个粒子位于空间中的某个小区域，则我们应该用一群填满该区域的钟来表示它。在区域中的每一个点上都有一块钟，而钟指针长度的平方将会表示在该处找到粒子的概率。如果把钟指针的长度求平方，并把它们都加起来，就会得到1。也就是说，在这块区域中找到粒子的概率是百分之百。
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我们过一会儿将用量子规则做一项严肃的计算。不过首先笔者得和盘托出，之前在钟转动规则的部分，未能做一条重要的补充说明。笔者之前没有引入它，因为这是一个技术细节；但如果要计算真正的概率，忽略了它就不会得到正确的答案。这条细节和我们在上一段末尾所说的内容有关。
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如果我们从单个粒子所在位置的钟开始，则钟指针长必须是1，因为这个粒子必须以100%的概率能在钟所处的位置被找到。根据我们的量子规则，为了描述从起始位置跳跃之后某时刻的粒子，我们应该将钟传送到宇宙中所有的位置。显然，不能让所有钟指针的长度都保持为1，因为那样我们的概率诠释就崩塌了。举例来说，想象粒子由四块钟描述，对应位于四个不同位置的情形。如果每块钟的大小都是1，则粒子位于四个位置中任一个的概率就是400%，这当然是荒谬的。为了修补这个问题，除了将这些钟顺时针旋转，还须缩小它们。这条“收缩规则”是说，在所有新的钟都产生出来后，每块钟都应该以钟总数的平方根为倍数收缩[95]。对于四块钟的情形，那就是说每条指针都须缩小倍，也就是说最终每块钟的指针长都是1/2。这样，在四块钟的每一块那里，都有(1/2)2=25%的机会找到这个粒子。用这种简单的方式，我们就能保证，在某处找到粒子的总概率永远是100%。当然，可以有无穷多可能的位置，此时一些钟的大小是零。这可能让人担心，但数学可以处理它。对我们来说，只要想象钟的数量是有限的就够了；并且在所有情形中我们都永远无需知道，一块钟到底收缩了多少。
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让我们回到之前的例子中，考虑宇宙中有单个粒子，且不知道其精确的位置。你可以把下面一节当作一个数学小谜题。初次阅读时会感到棘手，也许值得重读一遍；但如果你能够跟上思路，就能明白不确定性原理是如何出现的。简单起见，假设粒子运动于一维，就是说它位于一条直线上某处。更实际的三维情形在本质上没有区别，只是更难画出来罢了。在图4.3中我们绘出了这种情形，用位于一条直线上的三块钟来表示。我们应该想象，钟比这要多得多，在每一个粒子可能处于的位置上都会有一块，但这会非常难画出来。三号钟坐落在初始钟群的最左端，一号钟在最右端。重申一下，这表示的情形是，我们知道粒子从一号到三号钟的中间某处开始运动。牛顿会说，如果我们不去动粒子，则它会停在一号和三号钟之间。但量子规则会说什么呢？这就是乐趣的起点，我们会反复应用钟的规则，来回答这个问题。
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图4.3：三块位于一条直线上的钟都指向相同的时间，这描述了一开始位于这些钟所处的区域。我们感兴趣的是，在之后某时刻，在X点处找到粒子的概率。
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让我们允许时间滴答前进，并搞明白这一列钟会如何变化。我们会从一个离初始钟群很远的特定位置开始考虑，在图中记为X。后面会对“很远”做更定量的描述，但是现在它就只意味着需要把钟转很多圈。
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应用这场游戏的规则，我应该把初始钟群里的每一块钟都移动到X点处，相应地转动指针并收缩指针。在物理上，这对应粒子从初始的一群位置中跃至X点处。每块在直线上的初始钟都给出一块到达X处，所以会有很多钟，我们应该把它们加在一起。求和结束之后，在X处所得到钟指针的长度平方就给出了在X处找到粒子的概率。
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现在让我们代入一些数，看看结果如何。比如说，位置X距离钟1的距离是“10”单位，而整个初始钟群有“0.2”单位宽。为了回答一个显而易见的问题“10单位有多远？”，稍后会将普朗克常数引入叙事，但现在我们机巧地回避这个问题，只是简单给出，1单位长度对应钟转过1整圈（12个小时）。这就是说，位置X大约在初始钟群的102=100整圈远处（回忆一下转动规则）。我们还将假设，初始钟群钟的钟大小相同，并且都指向12点。假设它们大小相同，就只是说粒子处于图中位置1和3之间任何位置的概率相同；假设它们读数相同的重要性将适时出现。
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要把钟从位置1移动到位置X，根据我们的规则，必须逆时针旋转钟指针整100圈。现在我们来到要比位置1更远0.2单位的位置3，并把那里的钟移动到X。这块钟得经过10.2单位才能到X，所以我们得把它的指针多转一点，也就是10.22，结果很接近104整圈。
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现在有两块钟落在X，分别对应粒子从位置1和位置3跃至X的情形，而我们要开始计算最后的钟，就必须把它们加起来。因为它们旋转的圈数都十分接近整数，两块钟都大约指向12点，因此它们相加的结果是一块更大的钟，也指向12点。注意，只有钟指针的最终方向才是重要的。我们不需要追踪它们转过多少圈。到这里都还行，但我们还没完，因为在钟群最左和最右端之间，还有很多小钟。
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所以，我们现在把注意力放在左右两端的中点上，也就是位置2。那块钟距离X有10.1单位远，这意味着它将转动10.12圈。这十分接近102整圈——又是整数圈。得把这块钟和位置X上已有的两块钟加起来。同之前类似，这会让位置X处钟的指针更长。再接再厉，在位置1和2之间也有中点，那里的钟跃至X会转过101整圈，这还是会让最终的钟指针更长。但现在重点来了。如果从位置1和上述中点这两个点的中点出发，我们就会得到一块钟，把它移动到位置X时会转过100.5圈。这对应一块指向6点的钟。当我们加上这一块钟时，就会减小位置X处钟指针的长度。你稍加思索就会确信，尽管位置1、2和3产生的钟移动到X后都指向12点，并且尽管1、2和3的中点也产生指向12点的钟，但在位置1、3之间的1/4、3/4处，以及位置2、3之间的这两处，都生成指向6点的钟。总计有五块钟指向上，4块钟指向下。当我们把这些钟加起来时，在X处得到的结果是一块指针很短的钟[96]，因为几乎所有的钟都抵消了。
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这种简单考虑下的“钟的抵消”现象，显然可以延伸到实际情况中，即考虑位置1到3之间的所有位置。例如，位置1、3之间的1/8处，会贡献一块示数为9点的钟，而3/8处会贡献一块3点的钟。它们再次彼此抵消。最后的净效应是，粒子从钟群中某处出发并到达X，这样的所有跳跃方式所对应的钟互相抵消。这种抵消展示在图4.3的最右端。箭头表明从初始钟群的各个位置出发并到达X的钟的指针。将这些箭头全部加在一起的净效应是它们全部互相抵消。这就是需要记住的关键信息。
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重申一遍，我们刚刚说明了，只要初始的钟群足够大，并且位置X足够远，那么对于每一块到达X并指向12点的钟，都会有另一块钟，到达X时指向6点，从而抵消前者；对于每块到达时指向3点的钟，都会有另一块指向9点的钟到达，并抵消前者，等等。这种全盘抵消意味着，实际上根本没有机会在X处找到粒子。这实在是鼓舞人心又饶有趣味，因为它看起来更像是在描述一个不动的粒子。尽管我们的出发点是一个貌似滑稽的提案，一个粒子从空间中的单点位置出发，可以在短时间后到达宇宙中的任何位置，我们现在发现，如果开始时有一群钟，就不会出现这种滑稽的情况。对于一块钟群，因为钟之间相互干涉的方式，粒子实际上没有机会远离它的初始位置。这个结论，用牛津大学教授詹姆斯·宾尼[97]（James Binney）的话来说，是来自“量子干涉的狂欢”[98]。
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为使发生“量子干涉的狂欢”以至于相应的钟抵消，位置X需与初始钟群隔得足够远，以使钟可以旋转很多圈。为什么呢？因为如果位置X太近，那么钟指针不一定有机会转过至少一整圈，这意味着它们不会有效地互相抵消。例如，想象一下，在图4.3中，从位置1的钟到X的距离是0.3而不是10。现在钟群前端的钟在移动后转过的圈数比以前少，对应0.32=0.09圈，这意味着它指向1点多一点[99]。类似地，从钟群后端的位置3出发的钟，现在转过0.52=0.25圈，这意味着它的读数是3点。结果就是，所有到达X的钟都指向1点和3点之间的某个位置，这意味着它们并不相互抵消，反而相加形成一块大钟，指向约2点。所有这些都相当于在说，在靠近原始钟群但在它之外，有合理的机会能找到粒子。笔者说“靠近”的意思是，钟在移动前后，指针的旋转不超过一圈。这就有了一点不确定性原理的味道，但还是有些模糊。所以，我们来探索“足够大”的初始钟群以及“足够远”的位置究竟是什么意思。
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我们追随狄拉克和费曼而做出的初始拟设是，描述粒子的钟指针转过的圈数正比于其作用量。对于质量为m、在t时间内跃过距离x的情形，这正比于mx2/t。如果我们想得到具体的数，说“正比于”就不够好。需要知道精确的转动圈数。在第二章中我们讨论过牛顿的引力定律。为了得到定量的预测，我们引入了牛顿引力常数，它决定了引力的强度。有了牛顿引力常数，就可以把数代入方程中，算出具体的结果，比如月球的轨道周期，或者“旅行者2号”航天器在太阳系中旅程的轨道。我们现在需要量子力学中的相似物，一个大自然的常数，能“设定尺度”，让我们对于在特定时间内由初始位置被移过特定距离的粒子，能根据其作用量计算出钟的精确旋转圈数。那个常数就是普朗克常数。
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量子宇宙 普朗克常数简史
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在1900年10月7日一个妙思泉涌的夜晚，马克斯·普朗克设法解释了灼热物体辐射能量的方式。在整个19世纪下半叶，灼热物体的光辐射波长分布与其温度的确切关系，是物理学界的最大谜团之一。所有灼热物体都发射光，且随着温度增加，光的性质也会改变。我们很熟悉彩虹这样的可见波段的光；但光也能以对肉眼来说过长或过短的波长出现，这样人就看不见它们。比红光波长更长的光称之为红外（infra-red）光，可以透过夜视镜看到。波长更长的光对应无线电波。类似地，比蓝光波长更短的光称之为紫外（ultra-violet）光，而最短波长的光一般称为“伽马射线”。室温下，一块未燃烧的煤会发射出光谱（spectrum）中红外部分的光。但如果我们将其投入火堆中，煤块就会开始发出红光。这是因为，随着煤块的温度上升，其辐射光的平均波长减小，最终进入我们肉眼可见的范围。规则是，物体愈热，发射光的波长越短。在19世纪，随着实验测量精度的提升，依然没人知道该用什么样的数学公式来正确地描述这项观测。这个问题常被称为“黑体（black body）问题”，因为物理学者把能完全吸收并发出辐射的理想化物体称为“黑体”。这个问题很严峻，因为它代表着我们无法理解任何或者说是所有物体发出的光的性质。
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在普朗克于柏林被任命为理论物理学教授之前的许多年里，他一直在仔细思考这个问题，并将热力学和电磁学领域中的内容联系了起来。普朗克的这个教授职位早前也被提供给了玻尔兹曼[100]（Ludwig Boltzmann）和赫兹，但两人都拒绝了。当时的柏林正是黑体辐射的实验研究中心，普朗克能沉浸于实验工作的核心这实属巧合，而这成了他后来展现的理论物理绝技的关键。当物理学者与同事进行广泛而无计划的谈话时，往往工作成效最佳。
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我们非常清楚普朗克获得启示的日期和时刻，因为他和家人在1900年10月7日和他的同事海因里希·鲁本斯[101]（Heinrich Rubens）一起度过了一个下午。在午餐时，他们讨论了当时的理论模型在解释黑体辐射的细节时的失败。到了晚上，普朗克在一张明信片上草草写下一个公式，并寄给了鲁本斯。结果它就是正确的公式，但它也的确十分奇怪。后来据普朗克描述，这是他在尝试过其余所有能想到的方案后的“背水一战”。直到现在也没有人知道普朗克究竟是如何得到他的公式的。在阿尔伯特·爱因斯坦的经典传记《上帝难以捉摸》[102]中，作者亚伯拉罕·派斯[103]（Abraham Pais）写道：“他（普朗克）的推理是疯狂的，但他的疯狂具有神圣的品质，只有最伟大的过渡型人物才能带给科学。”普朗克的提案既费解又具革命性。他发现，只有当假设发射光由大量小能量“包”组成时，他才能解释黑体辐射光谱。换句话说，总能量以一个新的大自然基本常数为单位而量子化，普朗克将其称为“作用量的量子”。今天，我们称其为普朗克常数。
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尽管普朗克在当时并未意识到这一点，他的公式其实在暗示，光总是以小包或者说量子的形式被发射和吸收。在现代记号中，这些小包含有能量E=hc/λ，其中λ（读作lambda或兰布达）是光的波长，c是真空中的光速，h是普朗克常数。在这个公式中，普朗克常数是换算因子，将光的波长换算成与之关联的光量子的能量。普朗克认为，光本身由粒子组成，所以辐射光能量是量子化的。而这个最初是由阿尔伯特·爱因斯坦在他创造力井喷的1905年提出的[104]。在这个被称为奇迹年（拉丁文：annus mirabilis）的年份里，他还创造了狭义相对论，以及科学史中最著名的公式，E=mc2。爱因斯坦在1921年由于在光电效应上的工作获得诺贝尔物理学奖（而由于诺奖的神秘规定，他在1922年才获得颁奖[105]），而非更有名的两种相对论。爱因斯坦提议，光可以被看作是粒子流（他在当时没有使用“光子”一词）；他还正确地认识到，每个光子的能量反比于其波长。爱因斯坦的这个猜想是量子理论中最著名的佯谬之一的起源——粒子的行为像波，反之亦然。