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图5.1：初始钟群（由标记为1到5号的钟表示）由不同示数的钟组成——它们和邻居相比指针都移动了3小时。图下半部分展示的是钟群里钟的时间随位置的变化。
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这和我们在前一章做的一样，但也许你已经能发现对于钟的这种新初始构型会发生不一样的事情。我们设定，让钟2初始时比钟1顺时针多转动3小时——从12点转到3点。但是在把钟2带至X点的过程中，须将其逆时针转动得比钟1多一点，这对应它多运动的距离d。如果我们巧妙安排，使得钟2的初始顺时针转动量，与其抵达X时多出来的逆时针转动量相等，则它抵达X时会与钟1的示数完全一样。这意味着，移动后的钟2不会与钟1抵消，而是与之相加得到更大的钟，这就意味着在X处找到粒子的概率很大。这和在开始时让所有钟示数相同的量子发生“量子干涉的狂欢”完全不同。我们来考虑钟3，它和钟1相比转过了6小时。这块钟在抵达X时会额外移动2d的距离。同样，因为初始时间的偏置，这块钟抵达时会指向12点。如果我们用相同的方式偏置所有的钟，那这种结果就会发生在钟群中的所有钟上，它们在X处会相长地相加起来。
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这意味着，稍后粒子在X处被找到的概率很大。显然，位置X有其特殊性，因为钟群中的所有钟都合谋在那里指向相同的时间。但是X不是仅有的特殊点：所有在X左侧、距离与原钟群长度相同的位置，都具有让所有钟相长相加的性质。要看出这一点，注意我们可以把钟2移动到X左侧距离d的位置。这相当于将其从原位置向右移动x的距离；这和我们把钟1移至X的移动距离一样。下面可以把钟3移动x+d的距离到相同的位置，这和之前钟2的移动距离一样。因此，这两块钟都到达x时的读数应该相同，会相长相加。我们可以对钟群中所有的钟都如此移动，直到到达X左侧和原始钟群的大小相同的距离，即d。在这片特殊区域之外，钟大体抵消，因为它们不能继续免受于常规的“量子干涉的狂欢”[110]。诠释很明确：钟群在移动，如图5.2所示。
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图5.2：钟群以恒定速度向右运动。这是因为，原始钟群里的钟如正文中描述的那样有相对旋转。
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这个结果令人惊喜。通过偏置初始钟群里的钟，而不是让它们指向相同方向，我们就做到了对运动粒子的描述。奇妙的是，我们也可以将偏置过的钟和波的行为联系起来。
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回忆一下，我们在第二章中引入了钟，是为了解释粒子在双缝实验中的类波行为。回顾一下第三章的图3.3。那里我们画出了描述一列波的钟的排列方式。它就像是我们移动钟群的排列方式。在图5.1中，笔者在图下方用跟以前完全一样的方法画出了对应的波：12点表示波峰，6点表示波谷，3点和9点表示波高为零的位置。
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和我们可能期待的一样，运动粒子的表现似乎和波有关。波具有波长，这对应显示钟群里相同时间的钟的距离。笔者在图中也写下了这个量，记作λ。
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现在我们可以计算，要使相邻的钟相长相加，位置X应该距离钟群多远。这会将我们引至量子力学中的另一条非常重要的结论，并使量子粒子和波之间的联系更加明确。下面会用更多一点的数学。
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首先，我们需要写下，由于到X更远，钟2比钟1多转过的圈数。利用本章前文中的结果，这个数是：
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这式子你或许也能自己得出来，只需乘出括号并扔掉d2项，因为钟之间的距离d和原来钟群到位置X的距离x相比非常小。
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让这些钟在移动后读数相同的判据也能直观写下；我们想让钟2由于传播带来的额外转动，被初始的顺时针转动精确抵消。例如，在图5.1里，钟2的额外转动是1/4，因为我们将其顺时针转过了1/4圈。类似地，钟3的转动是1/2，因为我们将其转过了1/2圈。用符号表示，可以把两块钟之间的转动圈数一般地表示为d/λ，其中d是钟的间距，而λ是波长。如果你还没有看出来，只需想想两块钟的间距等于波长的情形，则d=λ，因此d/λ=1，也就是一整圈，而两块钟的读数一样。
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综合以上，我们可以说，要使两块相邻的钟在X处读数相同，需要让初始时钟的额外转动，等于由于传播距离不同带来的额外转动：
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像以前一样，注意到mx/t是粒子的动量p，就能简化这个式子。稍为整理就能得到：
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这个结果足够重要，值得命名。它由法国物理学家路易·德布罗意[111]（Louis de Broglie）于1923年9月首次提出，所以命名为德布罗意关系（de Broglie equation）。说它重要，是因为它将波长与已知动量的粒子关联起来。换句话说，它表达了通常分别归于粒子和波的两种性质——动量和波长之间的密切联系。如此，量子力学的波粒二象性（wave-particle duality）就从我们对钟的处理中浮现出来。
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德布罗意关系是观念上的一大飞跃。在原始论文中他写道：一切粒子，包括电子，都应具有“虚构的关联波”；通过单缝的电子流“应该有衍射现象”[112]。在1923年，他的论文还只是理论推测，因为直到1927年，戴维孙和革末才用电子束观察到干涉图案。在大约同一时间，爱因斯坦使用不同的推理方式做出了类似德布罗意的提案。这两项理论结果是薛定谔发展其波动力学的催化剂。在薛定谔提出同名方程的前一篇论文中，他写道：“这意味着除了严肃对待德布罗意-爱因斯坦关于运动粒子的波动理论，别无他法。”
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通过观察减小波长，我们可以对德布罗意关系得到更多的认识。这相当于增加相邻钟之间的旋转量。也就是说，我们将减小读数相同的钟之间的距离。这意味着，必须增加距离x，以补偿λ的减小。换句话说，位置X需要更远，才能“撤销”额外的旋转。那就对应移动更快的粒子：更小的波长对应更大的动量，而这正是德布罗意关系所说的。我们从一列静止的钟开始，“推导”出了普通的运动（因为钟群随时间平滑运动）。这真是一个可爱的结果。
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